Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

Tolaso J Kos · #1

Με αφορμή το όριο του Κώστα εδώ έρχεται αυτό το post.

Είδαμε στο link ότι το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{1}{4}}$ . Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι κοντά στο

είναι $\cos x \sim 1$ και $\sin x \sim 0$ και να προσπαθήσει να υπολογίσει το εξής όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{x^6}}$
Έλα, όμως που το τελευταίο δεν υπάρχει. ( εύκολο να το δείξουμε ). Η ερώτηση είναι γιατί δεν είναι ισοδύναμα αυτά τα δύο όρια;

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 6:19 pm
Με αφορμή το όριο του Κώστα εδώ έρχεται αυτό το post.

Είδαμε στο link ότι το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{1}{4}}$ . Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι κοντά στο είναι $\cos x \sim 1$ και $\sin x \sim 0$ και να προσπαθήσει να υπολογίσει το εξής όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{x^6}}$
Έλα, όμως που το τελευταίο δεν υπάρχει. ( εύκολο να το δείξουμε ). Η ερώτηση είναι γιατί δεν είναι ισοδύναμα αυτά τα δύο όρια;

Τόλη, δεν καταλαβαίνω την ερώτηση: Αφού ούτε το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{(\cos x ) ^{\sin x} -1 }{x^6}}$ υπάρχει, δεν έχουμε κανένα λόγο να αναμένουμε ότι υπάρχει το παραπάνω όριο. Αλίμονο αν στα όρια μετρούσε μόνο ο σταθερός όρος του αναπτύγματος Taylor ενώ, όπως εδώ, έχουμε παρονομαστή x^6

. Ότι και να κάνουμε, αν χρησιμοποιήσουμε ανάπτυγμα Taylor, δεν την σκαπουλάρουμε χωρίς να φτάσουμε στον όρο x^6

.

Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

Re: Παρέξενη συμπεριφορά ορίου

Μέλη σε σύνδεση