Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 496
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιαν 14, 2019 12:46 am

Καλή χρονιά σε όλους.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle {\int_{0}^{1} \frac{sin(logx)}{logx}dx}
τελευταία επεξεργασία από mick7 σε Δευ Ιαν 14, 2019 8:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2900
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Ιαν 14, 2019 1:39 am

Ίσως το έχουμε ξαναδεί, αλλά...

\begin{aligned} 
\int_{0}^{1}\frac{\sin(\log{x})}{\log{x}}\,dx&\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
	{t\,=\,-\log{x}}\\ 
	{dx\,=\,-{\rm{e}}^{-t}\,dt} \\ 
	\end{subarray}}\,-\int_{+\infty}^{0}\frac{\sin(-t)}{-t}\,{\rm{e}}^{-t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm{e}}^{-t}}{t}\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm{e}}^{-t}}{t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}}  
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\bigg(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{2n}{\rm{e}}^{-t}\,dt\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,(2n)!\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\arctan 1\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\frac{\pi}{4}\,.\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6297
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιαν 14, 2019 2:06 am

Θεωρούμε τη συνάρτηση

\displaystyle{f(t)=\int_{0}^{1}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx.}

Είναι

\displaystyle{f'(t)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx=\int_{0}^{1}\cos (t\ln x)dx\stackrel{t\ln x=u}{=}}

\displaystyle{=\frac{1}{t}\int_{-\infty}^{0}\cos u e^{\frac{u}{t}}du.}

Το ολοκλήρωμα αυτό υπολογίζεται με παραγοντική ολοκλήρωση και προκύπτει \displaystyle{\frac{t}{t^2+1}.}

Δηλαδή είναι

\displaystyle{f'(t)=\frac{1}{t^2+1}.} Επειδή είναι και \displaystyle{f(0)=0}, βρίσκουμε τελικά \displaystyle{f(t)=\arctan t.}

Το αρχικό ολοκλήρωμα είναι το \displaystyle{f(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 496
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιαν 14, 2019 8:37 pm

Πολύ όμορφα... :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης