Λογαριθμικό Gaussian ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Λογαριθμικό Gaussian ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 17, 2019 9:27 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^\infty \log x e^{-x^2} \, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: Λογαριθμικό Gaussian ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Δευ Μαρ 18, 2019 10:12 pm

Κάνοντας τη αλλαγή μεταβλητής y=x^{2} το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή

J=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty }ln\left ( y \right )y^{-\frac{1}{2}}e^{-y}dy=\frac{1}{4}{\Gamma }'\left ( \frac{1}{2} \right ) =-\frac{1}{4}\sqrt{\pi }\left ( \gamma +2ln(2) \right )

Πιο αναλυτικά, αν \psi =\frac{{\Gamma }'}{\Gamma } τότε αφού \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi } , το μόνο που μένει να εξηγήσουμε είναι ότι \psi \left ( \frac{1}{2} \right )=-\gamma -2ln(2) .

Όμως αφού \psi \left ( x \right )=-\gamma -\sum_{k=0}^{\infty }\left ( \frac{1}{x+k} -\frac{1}{1+k}\right ) αρκεί απλά να επαληθευτεί ότι \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( 2k+1 \right )}=2ln(2) . Πράγματι, έχουμε πως

\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( 2k+1 \right )}=2\sum_{k=0}^{\infty }\left ( \frac{1}{2k+1} -\frac{1}{2k+2}\right )=2\sum_{k=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{k}\frac{1}{k+1}=2ln(2)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης