Αρμονικό άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Αρμονικό άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 17, 2019 10:38 pm

Έστω \mathcal{H}_n ο n-οστός αρμονικός όρος. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^2}{n(n+1)} = 3\zeta(3)}
όπου \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αρμονικό άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 23, 2019 10:18 pm

Μία λύση ...!! Αφού ο @Σεραφείμ λείπει και κανείς άλλος δε με παίζει σε αυτού του είδους τα θέματα ...


\displaystyle{\begin{aligned} 
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^2}{n\left ( n+1 \right )} &= \sum_{n=1}^{\infty}\mathcal{H}_n^2 \left [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] \\  
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} - \frac{\mathcal{H}_n^2}{n+1} \right] \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} - \frac{\left ( \mathcal{H}_{n+1} - \frac{1}{n+1} \right )^2}{n+1} \right] \\  
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{\mathcal{H}_n^2}{n} -\frac{\mathcal{H}_{n+1}^2}{n+1} \right ] + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n+1}}{\left ( n+1 \right )^2}  - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3} \\  
&= 1 - \cancelto{0}{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\mathcal{H}_{n+1}^2}{n+1}} + 2 \left ( 2 \zeta(3) - 1 \right ) - \left ( \zeta(3) - 1 \right ) \\  
&=1 + 4 \zeta(3) - 2 - \zeta(3) + 1 \\  
&=3\zeta(3)  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες