Ας παράξουμε ... όγκο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ας παράξουμε ... όγκο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm

Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right) , y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right) όπου \theta \in [0, 2\pi] γύρω από τη βάση του είναι 5\pi^2 \alpha^3.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1928
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Μαρ 27, 2019 9:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right) , y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right) όπου \theta \in [0, 2\pi] γύρω από τη βάση του είναι 5\pi^2 \alpha^3.
Απόστολε καλημέρα....

Κατ' αρχήν ας δούμε το στερεό αυτό που παράγεται από την περιστροφή της κυκλοειδούς καμπύλης γύρω από τον άξονα των \displaystyle{Ox}.
Ατό φαίνεται στα τρία ακόλουθα σχήματα:

1ο σχήμα
Στερεό κυκλοειδούς 1.png
Στερεό κυκλοειδούς 1.png (53.8 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
2ο σχήμα
Στερεό κυκλοειδούς 2.png
Στερεό κυκλοειδούς 2.png (64.28 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
3ο σχήμα
Στερεό κυκλοειδούς 3.png
Στερεό κυκλοειδούς 3.png (43.46 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα για να δει κανείς και την κινητικότητα του
σχηματισμού αυτών.
Μέτρηση όγκου 2.ggb
(13.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 21 φορές
Για τη μέτρηση του όγκου σε επόμενο μήνυμα....

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1928
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Μαρ 28, 2019 11:18 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές x=\alpha \left( \theta - \sin \theta \right) , y = \alpha \left( 1 - \cos \theta \right) όπου \theta \in [0, 2\pi] γύρω από τη βάση του είναι 5\pi^2 \alpha^3.
(Συνέχεια από την προηγούμενη ανάρτηση)

Για τον υπολογισμό του όγκου του στερεού που παράγεται από την
πλήρη περιστροφή της κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα τον \displaystyle{Ox},
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Στερεό κυκλοειδούς 4.png
Στερεό κυκλοειδούς 4.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Θυμίζουμε ότι η παραμετρική εξίσωση της κυκλοειδούς στους άξονες \displaystyle{Ox, Oz},
είναι η ακόλουθη:

\displaystyle{\begin{matrix} x(t)=a(t-sin(t))\\z(t)=a(1-cos(t)) \end{Bmatrix},\  \ t\in{[0,2\pi]} \  \ (1)}

Αν θεωρήσουμε τώρα ένα στοιχειώδη κύλινδρο με βάση τον κύκλο ακτίνας ίσης με \displaystyle{z} και ύψος
το στοιχειώδες \displaystyle{dx}, τότε ο όγκος αυτού και λόγω των (1), θα είναι:

\displaystyle{V_i=\pi z^2 dx=\pi a^2(1-cos(t))^2  (a(t-sin(t)))'dt =\pi  a^3  (1-cos(t))^3 dt }

Δηλαδή:

\displaystyle{V_i=\pi a^3(1-cos(t))^3dt \  \ (2)}

όπου \displaystyle{a} η ακτίνα του κύκλου ο οποίος παρήγαγε την κυκλοειδή αυτή.

Άρα ο συνολικός όγκος του στερεού αυτού είναι:

\displaystyle{V=\pi \int_{0}^{2\pi} a^3(1-cos(t))^3dt =\pi a^3 \int_{0}^{2\pi}(1-1+2sin^2(\frac{t}{2}))^3dt =8 \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} sin^6(\frac{t}{2})dt  }

\displaystyle{\Rightarrow V=16 \pi a^3 \int_{0}^{\pi} sin^6(w)dw \  \ (3)}

Υπολογίζοντας (εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:

\displaystyle{V=5 \pi ^2 a^3 }

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 29, 2019 10:57 am

KDORTSI έγραψε:
Πέμ Μαρ 28, 2019 11:18 pm


\displaystyle{\Rightarrow V=16 \pi a^3 \int_{0}^{\pi} sin^6(w)dw \  \ (3)}

Υπολογίζοντας (εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:

\displaystyle{V=5 \pi ^2 a^3 }

Κώστας Δόρτσιος

Θαρρώ ναι!

\displaystyle{\begin{aligned} 
16\pi a^3 \int_{0}^{\pi} \sin^6 x\, \mathrm{d}x &= 32\pi a^3 \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \, \mathrm{d}x \\  
 &=32 \pi a^3 \cdot \frac{1}{2} \; \mathrm{B} \left ( \frac{7}{2} , \frac{1}{2}  \right ) \\  
 &=16 \pi a^3 \frac{\Gamma \left ( \frac{7}{2} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( 4 \right )} \\  
 &= 16 \pi a^3 \frac{15\sqrt{\pi} \sqrt{\pi}}{8 \cdot 3!}\\  
 &= 5 \pi^2 a^3 
\end{aligned}}
διότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \sin^n x\cos^m x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \;\mathrm{B} \left ( \frac{n+1}{2} , \frac{m+1}{2} \right )} όπου \mathrm{B} η συνάρτηση Βήτα του Euler.


Τέλος, είναι

\displaystyle{\begin{aligned} 
\Gamma \left ( \frac{7}{2} \right ) &= \Gamma \left ( 1+\frac{5}{2} \right ) \\  
 &=\frac{5}{2} \cdot \Gamma \left ( \frac{5}{2} \right ) \\  
 &=\frac{5}{2} \cdot \Gamma \left ( 1 + \frac{3}{2} \right ) \\  
 &=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \Gamma \left ( 1+ \frac{1}{2} \right ) \\  
 &= \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \\ 
 &= \frac{15 \sqrt{\pi}}{8}   
\end{aligned}}
διότι \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}.

Γενικά, οι τιμές της \Gamma στους μισούς ακεραίους δίδονται από τον όχι τόσο γνωστό τύπο:

\displaystyle{\Gamma\left ( \frac{n}{2} \right ) = \frac{\sqrt{\pi} \left ( n-2 \right )!!}{2^{\frac{n-1}{2}}}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ας παράξουμε ... όγκο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 29, 2019 11:05 am

Πέρα από τη Β συνάρτηση μπορούμε να χρησιμοποιούμε και τον αναδρομικό τύπο:

\displaystyle{\int \sin^m u \; \mathrm{d}u = -\frac{\cos u \sin^{m-1} u} {m}+\frac{m-1}{m}\int \sin^{m-2}u \; \mathrm{d}u}
δύο φορές και να καταλήξουμε στο εξής:

\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \sin^6 x \, \mathrm{d}x = \frac{5}{8} \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, \mathrm{d}x = \frac{5 \pi}{16} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες