Σελίδα 1 από 1
Ας παράξουμε ... όγκο
Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
από Tolaso J Kos
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές
,
όπου
γύρω από τη βάση του είναι
.
Re: Ας παράξουμε ... όγκο
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 27, 2019 9:01 am
από KDORTSI
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές
,
όπου
γύρω από τη βάση του είναι
.
Απόστολε καλημέρα....
Κατ' αρχήν ας δούμε το στερεό αυτό που παράγεται από την περιστροφή της κυκλοειδούς καμπύλης γύρω από τον άξονα των
.
Ατό φαίνεται στα τρία ακόλουθα σχήματα:
1ο σχήμα
- Στερεό κυκλοειδούς 1.png (53.8 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές
2ο σχήμα
- Στερεό κυκλοειδούς 2.png (64.28 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές
3ο σχήμα
- Στερεό κυκλοειδούς 3.png (43.46 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές
Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα για να δει κανείς και την κινητικότητα του
σχηματισμού αυτών.
Για τη μέτρηση του όγκου σε επόμενο μήνυμα....
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ας παράξουμε ... όγκο
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 28, 2019 11:18 pm
από KDORTSI
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Μαρ 19, 2019 10:42 pm
Να δειχθεί ότι ο όγκος που παράγεται όταν περιστρέψουμε το κυκλοειδές
,
όπου
γύρω από τη βάση του είναι
.
(Συνέχεια από την προηγούμενη ανάρτηση)
Για τον υπολογισμό του όγκου του στερεού που παράγεται από την
πλήρη περιστροφή της κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα τον ,
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
- Στερεό κυκλοειδούς 4.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Θυμίζουμε ότι η παραμετρική εξίσωση της κυκλοειδούς στους άξονες
,
είναι η ακόλουθη:
Αν θεωρήσουμε τώρα ένα στοιχειώδη κύλινδρο με βάση τον κύκλο ακτίνας ίσης με
και ύψος
το στοιχειώδες
, τότε ο όγκος αυτού και λόγω των (1), θα είναι:
Δηλαδή:
όπου
η ακτίνα του κύκλου ο οποίος παρήγαγε την κυκλοειδή αυτή.
Άρα ο συνολικός όγκος του στερεού αυτού είναι:
Υπολογίζοντας
(εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ας παράξουμε ... όγκο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 29, 2019 10:57 am
από Tolaso J Kos
KDORTSI έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 28, 2019 11:18 pm
Υπολογίζοντας
(εύκολα;) το ολοκλήρωμα αυτό καταλήγουμε:
Κώστας Δόρτσιος
Θαρρώ ναι!
διότι:
όπου
η συνάρτηση Βήτα του Euler.
Τέλος, είναι
διότι
.
Γενικά, οι τιμές της
στους μισούς ακεραίους δίδονται από τον όχι τόσο γνωστό τύπο:
Re: Ας παράξουμε ... όγκο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 29, 2019 11:05 am
από Tolaso J Kos
Πέρα από τη Β συνάρτηση μπορούμε να χρησιμοποιούμε και τον αναδρομικό τύπο:
δύο φορές και να καταλήξουμε στο εξής: