Ολοκλήρωμα θήτα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα θήτα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 26, 2019 6:19 pm

Έστω \vartheta_2 μία από τις συναρτήσεις θήτα του Jacobi. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Laplace-Gauss
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 07, 2019 11:15 am

Re: Ολοκλήρωμα θήτα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Laplace-Gauss » Κυρ Μαρ 31, 2019 2:16 am

Ορίστε η λύση και σχετική ανάλυση του θέματος
https://math.stackexchange.com/question ... eta-n0-qdq


Μécanique genius
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα θήτα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 31, 2019 2:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μαρ 26, 2019 6:19 pm
Έστω \vartheta_2 μία από τις συναρτήσεις θήτα του Jacobi. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q}

Μία λύση.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \vartheta_2\left ( 0;q \right ) \ln \frac{1}{q} \, \mathrm{d}q &= - \int_{0}^{1} \vartheta_2 \left ( 0;q \right ) \ln q \; \mathrm{d}q \\  
 &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} q^{\left ( n+1/2 \right )^2} \ln q \;\mathrm{d}q \\  
 &=16 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n^2+4n+5 \right )^2} \\  
 &=\frac{\pi}{2} \left ( \tanh \pi - \frac{\pi}{\cosh^2 \pi} \right ) 
\end{aligned}}
Η σειρά \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n^2+4n+5 \right )^2} } αντιμετωπίζεται στοιχειωδώς με μιγαδική ανάλυση θεωρώντας τη συνάρτηση \displaystyle{f(z) = \frac{\pi \cot \pi z}{(4z^2+4z+5)^2} }. Αν δε θέλει κάποιος τη μιγαδική, τότε η σειρά Fourier της e^x δουλεύει επίσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης