σημείο συμπύκνωσης
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
σημείο συμπύκνωσης
Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64234
Αν
και .
Το λέγεται σημείο συμπύκνωσης του αν για κάθε
το σύνολο είναι υπεραριθμήσιμο.
Να δειχθεί ότι :
Αν είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο
τότε το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης
είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Βοηθάει το εξής:
το παραπάνω ισχύει σε οποιονδήποτε αριθμήσιμο μετρικό χώρο.
(δηλαδή έχει αριθμήσιμη βάση περιοχών)
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64234
Αν
και .
Το λέγεται σημείο συμπύκνωσης του αν για κάθε
το σύνολο είναι υπεραριθμήσιμο.
Να δειχθεί ότι :
Αν είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο
τότε το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης
είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Βοηθάει το εξής:
το παραπάνω ισχύει σε οποιονδήποτε αριθμήσιμο μετρικό χώρο.
(δηλαδή έχει αριθμήσιμη βάση περιοχών)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: σημείο συμπύκνωσης
Καλούμε τα τέτοια ώστε να μην είναι σημείο συμπύκνωσης.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 11, 2019 1:04 amΜε αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64234
Αν
και .
Το λέγεται σημείο συμπύκνωσης του αν για κάθε
το σύνολο είναι υπεραριθμήσιμο.
Να δειχθεί ότι :
Αν είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο
τότε το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης
είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Βοηθάει το εξής:
το παραπάνω ισχύει σε οποιονδήποτε αριθμήσιμο μετρικό χώρο.
(δηλαδή έχει αριθμήσιμη βάση περιοχών)
Τότε αριθμήσιμο.
Από αυτό έχουμε ένα ανοιχτό κάλυμμα του , όπου και .
Από Θεώρημα Κάλυψης του Lindelof βρίσκουμε αριθμήσιμο υποκάλυμμα του και
αριθμήσιμο.
Άρα
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: σημείο συμπύκνωσης
Θα δώσω μια απόδειξη για μετρικό χώρο που είναι αριθμήσιμος.
Δηλαδή υπάρχει
βάση περιοχών.
Εστω υπεραριθμήσιμο.
Εδώ το είναι σημείο συμπύκνωσης αν
για κάθε ανοικτό με
το
είναι υπεραριθμήσιμο.
Εστω το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης.
Για υπάρχει ανοικτό με
το πολύ αριθμήσιμο.
(εδω χρησιμοποιούμε την υπόθεση του συνεχούς).
Επειδή
όπου
υπάρχει
με το πολύ αριθμήσιμο
και
Αν θέσουμε
τότε
που δείχνει ότι το είναι αριθμήσιμο σαν υποσύνολο αριθμησίμου.
Επειδή στην προηγούμενη απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε την μετρική,
αυτούσια η απόδειξη περνάει και σε Τοπολογικούς χώρους.
Δηλαδή υπάρχει
βάση περιοχών.
Εστω υπεραριθμήσιμο.
Εδώ το είναι σημείο συμπύκνωσης αν
για κάθε ανοικτό με
το
είναι υπεραριθμήσιμο.
Εστω το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης.
Για υπάρχει ανοικτό με
το πολύ αριθμήσιμο.
(εδω χρησιμοποιούμε την υπόθεση του συνεχούς).
Επειδή
όπου
υπάρχει
με το πολύ αριθμήσιμο
και
Αν θέσουμε
τότε
που δείχνει ότι το είναι αριθμήσιμο σαν υποσύνολο αριθμησίμου.
Επειδή στην προηγούμενη απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε την μετρική,
αυτούσια η απόδειξη περνάει και σε Τοπολογικούς χώρους.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες