Ερώτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ερώτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Μάιος 05, 2019 12:35 am

Παραθέτω την ακριβή διατύπωση της άσκησης:

"Να επαληθευτεί το θεώρημα του Green για την συνάρτηση \overrightarrow{F}(x,y)=xy\overrightarrow{i}-xy^2\,\overrightarrow{j} στο χωρίο D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\}."

Ερώτηση: Τι θα απαντούσατε;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 05, 2019 3:23 pm

grigkost έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:35 am
Παραθέτω την ακριβή διατύπωση της άσκησης:

"Να επαληθευτεί το θεώρημα του Green για την συνάρτηση \overrightarrow{F}(x,y)=xy\overrightarrow{i}-xy^2\,\overrightarrow{j} στο χωρίο D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\}."

Ερώτηση: Τι θα απαντούσατε;
Γεια Γρηγόρη.

Θα υπολόγιζα το επικαμπύλιο και το διπλό και θα τα έβγαζα ίσα.
Το επικαμπύλιο βέβαια είναι δύο.

Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ερώτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μάιος 05, 2019 3:43 pm

Γρηγόρη μήπως εννοείται έτσι;
DeepinScreenshot_select-area_20190505154206.png
DeepinScreenshot_select-area_20190505154206.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερώτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Μάιος 05, 2019 7:47 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:23 pm
...Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........
Σταύρο, η άσκηση δόθηκε σε φοιτητές με μοναδικό δεδομένο το θεώρημα του Green για κανονικό χωρίο με σύνορο μια απλή, κλειστή, διαφορίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη. Επομένως δεν είναι αυτονόητη η εφαρμογή του θεωρήματος σε δακτυλική περιοχή. Επεκτείνεται μεν, αλλά αυτό θέλει απόδειξη.

Christos.N έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:43 pm
Γρηγόρη μήπως εννοείται έτσι;
Χρήστο, δόθηκε μόνο η παρατεθείσα εκφώνηση. Μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα και σε δακτυλική περιοχή διαμερίζοντάς την π.χ. όπως στο παρακάτω σχήμα.
annulus.png
annulus.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 05, 2019 8:00 pm

grigkost έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 7:47 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 3:23 pm
...Καταλαβαίνω ότι το χωρίο έχει τρύπα όποτε μπορεί κάποιος να πει ότι δεν είναι
ο κλασσικός Green.
Πολλοί όμως και αυτό το λένε Green και όχι Green σε χωρίο ........
Σταύρο, η άσκηση δόθηκε σε φοιτητές με μοναδικό δεδομένο το θεώρημα του Green για κανονικό χωρίο με σύνορο μια απλή, κλειστή, διαφορίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη. Επομένως δεν είναι αυτονόητη η εφαρμογή του θεωρήματος σε δακτυλική περιοχή. Επεκτείνεται μεν, αλλά αυτό θέλει απόδειξη.
Αν είναι έτσι τότε ΚΑΚΩΣ δόθηκε.
Διότι απλούστατα δεν μπορεί να εφαρμοσθεί το θεώρημα σε αυτό το χωρίο.

https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2791
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερώτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Μάιος 06, 2019 7:40 pm

Δίνουμε μια πιο εκτεταμένη επίλυση:

Το χωρίο D=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4\big\} δεν είναι κανονικό και, επομένως, δεν εφαρμόζεται άμεσα το θεώρημα του Green σε αυτό. Όμως αν διαμερίσουμε το D στα σύνολα A_+=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4,\, y\geqslant0\big\} και A_-=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;\big|\; 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4,\, y\leqslant0\big\}, τότε εφαρμόζεται σε αυτά τα κανονικά χωρία.
annulus.png
annulus.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
 \begin{aligned} 
 &\left.\begin{array}{l} 
 \displaystyle\ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}=\iint\limits_{A_+}(-y^2-x)\,d(x,y)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 \displaystyle\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-}	\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}=\iint\limits_{A_-}(-y^2-x)\,d(x,y) 
 \end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 &\ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-}	\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\stackrel{\mu(\partial(A_+\cup A_-))\,=\,0}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\iint\limits_{D}(-y^2-x)\,d(x,y)\quad(1) 
 \end{aligned}
Όμως
\begin{aligned} 
 \ointctrclockwise\limits_{\partial A_+}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointctrclockwise\limits_{\partial A_-}	\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}&=\oint\limits_{\gamma_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\ell_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\ell_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\,+\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 &\qquad\oint\limits_{\gamma_3}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{-\ell_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_4}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{-\ell_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 &=\oint\limits_{\gamma_1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_3}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\oint\limits_{\gamma_4}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 &=\ointctrclockwise\limits_{\|\vec{x}\|=2}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}+\ointclockwise\limits_{\|\vec{x}\|=1}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
 &=\ointctrclockwise\limits_{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot d\,\overrightarrow{r} 
 \end{aligned}
και, λόγω της (1), επαληθεύτηκε το θεώρημα του Green στο χωρίο D για το \overrightarrow{F}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ερώτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 07, 2019 12:37 am

Λίγο πιο απλά από πλευράς πράξεων είναι να θεωρήσουμε ως χωρίο τον μεγάλο κύκλο (με την περιφέρειά του ως κλειστή καμπύλη) και να αφαιρέσουμε το χωρίο με τον μικρό κύκλο. Με άλλα λόγια επαληθεύουμε το θεώρημα Green σε κάθε χωρίο χωριστά, και αφαιρούμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες