Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

MathSc
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Κυρ Μάιος 12, 2019 7:54 pm

Μια ισοσταθμική επιφάνεια μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης  f(x, y, z) έχει σε ένα σημείο της (x_{0}, y_{0}, z_{0}) εφαπτόμενο επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση 3x − 2y + 6z = 15 και ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq  (0, 0, 0).
Σε ποιές κατευθύνσεις  \nu  από το (x_{0}, y_{0}, z_{0}) είναι δυνατόν να έχει η συνάρτηση (α) μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (β) ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (γ) μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής;

Αφού η επιφάνεια είναι ισοσταθμική, δηλαδή  f(x, y, z)= \kappa   , τότε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο (x_{0}, y_{0}, z_{0}) βρίσκεται από την σχέση \displaystyle{∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}) = 0 } , όπου ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο. Επίσης το διάνυσμα (3,-2,6) είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο, άρα παράλληλο στο ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}).
Οπότε για τα 2 πρώτα ερωτήματα απαντάμε ότι μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής συναντάμε στην κατεύθυνση του (3,-2,6) (αφού είναι παράλληλο του ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) ) και ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής στην κατεύθυνση του -(3,-2,6) ;

Επίσης για το ερώτημα (γ) εγώ ξέρω ότι μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό έχω στην κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος στο ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}). Είμαι σωστός; Και πώς θα το βρω;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2792
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Μάιος 13, 2019 7:43 am

MathSc έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 7:54 pm
Μια ισοσταθμική επιφάνεια μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης  f(x, y, z) έχει σε ένα σημείο της (x_{0}, y_{0}, z_{0}) εφαπτόμενο επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση 3x − 2y + 6z = 15 και ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq  (0, 0, 0).
Σε ποιές κατευθύνσεις  \nu  από το (x_{0}, y_{0}, z_{0}) είναι δυνατόν να έχει η συνάρτηση (α) μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (β) ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής; (γ) μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής;

Αφού η επιφάνεια είναι ισοσταθμική, δηλαδή  f(x, y, z)= \kappa   , τότε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο (x_{0}, y_{0}, z_{0}) βρίσκεται από την σχέση \displaystyle{∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}) = 0 } , όπου ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο. Επίσης το διάνυσμα (3,-2,6) είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο, άρα παράλληλο στο ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}).
Οπότε για τα 2 πρώτα ερωτήματα απαντάμε ότι μέγιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής συναντάμε στην κατεύθυνση του (3,-2,6) (αφού είναι παράλληλο του ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) ) και ελάχιστο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής στην κατεύθυνση του -(3,-2,6) ;...
Σωστά. Οι δυο κατευθύνσεις στις οποίες έχουμε μέγιστο και ελάχιστο ρυθμό μεταβολής είναι οι κατευθύνσεις των (3,-2,6) και -(3,-2,6). Μπορούμε όμως να γνωρίζουμε σε ποιά από τις δυο έχουμε την μέγιστη και σε ποιά την ελάχιστη;

MathSc έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 7:54 pm
..Επίσης για το ερώτημα (γ) εγώ ξέρω ότι μηδενικό στιγμιαίο ρυθμό έχω στην κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος στο ∇f(x_{0}, y_{0}, z_{0}). Είμαι σωστός; Και πώς θα το βρω;
Αφού η επιφάνεια στάθμης είναι τρισδιάστατη, αρκεί να βρεθεί ο διανυσματικός χώρος (διάστασης 2) που είναι κάθετος στο διάνυσμα \nabla f(x_{0}, y_{0}, z_{0}). Ποιός είναι αυτός;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
MathSc
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τρί Μάιος 14, 2019 1:35 am

Δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος για να βρω σε ποια κατεύθυνση έχουμε μέγιστη και σε ποια ελάχιστη. Ασυνείδητα επέλεξα το  + και το  - .
Να πάρω περιπτώσεις;
Όσον αφορά το τελευταίο ερώτημα η απάντηση είναι όλο το εφαπτόμενο επίπεδο; Γιατί κάθε διάνυσμα του επιπέδου αυτού είναι κάθετο στο \bigtriangledown f(x_{0},y_{0},z_{0}) .


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2792
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μάιος 14, 2019 6:31 am

MathSc έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 1:35 am
Δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος για να βρω σε ποια κατεύθυνση έχουμε μέγιστη και σε ποια ελάχιστη. Ασυνείδητα επέλεξα το  + και το  - .
Να πάρω περιπτώσεις;
Η εκφώνηση λέει "Σε ποιές κατευθύνσεις  \nu  από το (x_{0}, y_{0}, z_{0}) είναι δυνατόν..." επειδή από τα δεδομένα δεν είναι εφικτή η ακριβής κατεύθυνση. Επομένως στις κατευθύνσεις (3,-2,6) και -(3,-2,6) έχουμε, είτε μέγιστη και ελάχιστη, αντίστοιχα, είτε ελάχιστη και μέγιστη, αντίστοιχα.
MathSc έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 1:35 am
Όσον αφορά το τελευταίο ερώτημα η απάντηση είναι όλο το εφαπτόμενο επίπεδο; ...
Προφανώς.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
MathSc
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Τρί Μάιος 14, 2019 8:02 pm

Ναι, ναι, κατάλαβα! Σας ευχαριστώ πολύ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες