Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 8:26 pm

Ταλαιπωρούμαι εδώ και πολύ καιρό με το συγκεκριμένο μάθημα, ανεβάζω κάποιες ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα κάποια υπόδειξη-βοήθεια!!!
Ευχαριστώ πολύ όποιον μπορέσει να ασχοληθεί.

1 )Έστω \large \sum_{n=0}^{\infty }a_nz^n δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης \large R. Αποδείξτε ότι για \large R'<R υπάρχει γεωμετρική σειρά με λόγο \large q\epsilon \left ( 0,1 \right ): \large \sum_{n=0}^{\infty}\left | a_nz^n \right |\leq M\sum_{n=0}^{\infty}q^n στον κλειστό δίσκο \large \overline{D}\left ( 0,R' \right ) για κάποιο \large M>0.

2) Στον κύκλο \large C(0,r) δείξτε ότι: \large f(0)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }f(re^{i\theta})d\theta

3) Έστω \large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}. Αν \large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n είναι το ανάπτυγμα της f σε δυναμοσειρά με κέντρο 1/2. Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι μικρότερη από 3/2.

4) Δείξτε ότι στο δακτύλιο \large r_1<\left | z \right |<r_2 το ανάπτυγμα Laurent της \large \frac{1}{z-b}, \left | b \right |>r_2 έχει μόνο θετικές δυνάμεις του z.

5) Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της \large \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n,a_n:\left\{\begin{matrix} k^k, &n=k^2 \\ 0, & n\neq k^2 \end{matrix}\right.

6) Έστω \large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1, Δείξτε ότι \large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta . (Μου φαίνεται λίγο ελλειπής η εκφώνηση εδώ!!!)
τελευταία επεξεργασία από Soniram89 σε Κυρ Ιουν 23, 2019 10:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm

4)

Εικόνα

Ισχύει ότι: \large \left | b \right |>\left | z \right |\Leftrightarrow 1>\dfrac{\left | z \right |}{\left | b \right |}\Leftrightarrow \left | \dfrac{b}{z} \right |<1

Άρα:

\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=-\dfrac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}(\dfrac{z}{b})^n}=-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...
τελευταία επεξεργασία από Soniram89 σε Κυρ Ιουν 23, 2019 10:12 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 9:18 pm

2) Με πολύ μεγάλη επιφύλαξη:

Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy: \large f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta

Κάνουμε την εξής παραμέτρηση: \large \zeta =z+re^{i\theta}\Leftrightarrow d\zeta =re^{i\theta}id\theta

Επίσης: \large \zeta -z=re^{i\theta }

Άρα: \large f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi }\dfrac{z+re^{i\theta }}{re^{i\theta }}ire^{i\theta }d\theta =\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(z+re^{i\theta })d\theta

Το ζητούμενο έπεται για εφαρμογή του παραπάνω τύπου στον κύκλο \large C(o,r).?
τελευταία επεξεργασία από Soniram89 σε Κυρ Ιουν 23, 2019 9:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 9:30 pm

5) Η δυναμοσειρά γράφεται: \large f(z)=z+2^2z^2+3^3z^3+4^4z^4+...

Από κριτήριο ρίζας : \large \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left | a_n \right |}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty }n=\infty

Όμως \large R=\dfrac{1}{\lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}

Άρα \large R=\dfrac{1}{\infty}=0


Χρειάζεται απόδειξη για ποιό λόγο επιλέξαμε το μεγαλύτερο υπακολουθιακό όριο??


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 23, 2019 10:51 pm

Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 9:30 pm
5) Η δυναμοσειρά γράφεται: \large f(z)=z+2^2z^2+3^3z^3+4^4z^4+...
...
Για δες το ξανά αυτό.

Υπόδειξη: Οι μη μηδενικοί συντελεστές είναι οι a_n όπου n κάποιος από τους 0^2, 1^2, 2^2, 3^2,... δηλαδή τους 0,\, 1, \, 4, \, 9, ... . Αυτό που έγραψες είναι τα 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,... (δηλαδή όλα).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 23, 2019 11:00 pm

Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm
4)

\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=...
Για δες το ξανά αυτό. Έχει τρία λάθη μέσα του
Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm

-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...
Αυτό είναι πάρα, μα ΠΑΡΑ, πολύ λάθος.

Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι \displaystyle{- \dfrac {1}{1+ \dfrac {1}{A}}= -1-A}.

Εάν δεν βλέπεις γιατί είναι λάθος, βάλε A=1 και σύγκρινε τα δύο μέλη.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 11:10 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 11:00 pm
Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm
4)

\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=...
Για δες το ξανά αυτό. Έχει τρία λάθη μέσα του
Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm

-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...
Αυτό είναι πάρα, μα ΠΑΡΑ, πολύ λάθος.

Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι \displaystyle{- \dfrac {1}{1+ \dfrac {1}{A}}= -1-A}.

Εάν δεν βλέπεις γιατί είναι λάθος, βάλε A=1 και σύγκρινε τα δύο μέλη.
Έχετε δίκιο, επικεντρώθηκα περισσότερο στην πληκτρολόγηση παρά στο να κάνω σωστά πράξεις!!! Τα διορθώνω αμέσως!!!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 23, 2019 11:26 pm

Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 11:10 pm
Έχετε δίκιο, επικεντρώθηκα περισσότερο στην πληκτρολόγηση παρά στο να κάνω σωστά πράξεις!!! Τα διορθώνω αμέσως!!!
Ωραία. Περιμένουμε το σωστό.

Υπόψη ότι υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση σου, πέρα από αυτά που σημείωσα. Και το κυριότερο, δεν φαίνεται να κατάλαβες τι σου ζητά η άσκηση. Συγκεκριμένα, σου ζητά να αποδείξεις ότι το ανάπτυγμα έχει μόνο θετικές δυνάμεις του z αλλά εσύ έδειξες ότι έχει μόνο αρνητικές.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Κυρ Ιουν 23, 2019 11:48 pm

Διόρθωση της 4)

\large \left | b \right |>\left | z \right |\Leftrightarrow 1>\dfrac{\left | z \right |}{\left | b \right |}\Leftrightarrow \left | \dfrac{z}{b} \right |<1

\large \dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{b}\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=-\dfrac{1}{b}\sum_{n=0}^{\infty}(\dfrac{z}{b})^n=-\dfrac{1}{b}(1+\dfrac{z}{b}+\dfrac{z^2}{b^2}+...)=-\dfrac{1}{b}-\dfrac{z}{b^2}-\dfrac{z^2}{b^3}-...
τελευταία επεξεργασία από Soniram89 σε Δευ Ιουν 24, 2019 12:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Δευ Ιουν 24, 2019 12:01 am

Διόρθωση για την 5)

\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 24, 2019 8:15 am

Soniram89 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 12:01 am
Διόρθωση για την 5)

\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!
Όχι βέβαια! Πρώτα απ' όλα πρέπει τώρα να εξετάσεις το \displaystyle{\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}}. Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι το ίδιο με το
\displaystyle{\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}.

Το κυριότερο σφάλμα στον συλλογισμό σου είναι ότι δεν έχεις κατανοήσει τι είναι το \displaystyle{ \limsup\sqrt[n]{\left | a_n \right |} . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι \lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}.

Θα πρότεινα να τα ξεκαθαρίσεις. Δεν έχει νόημα να σου γράψουμε λεπτομέρειες για την λύση αν δεν έχεις τις γνώσεις να τις κατανοήσεις σε όλο τους το φάσμα.

Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε αλλά πρέπει πρώτα και εσύ να κάνεις τα σωστά βήματα.


Soniram89
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2018 8:48 pm

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soniram89 » Δευ Ιουν 24, 2019 2:29 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 8:15 am
Soniram89 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 12:01 am
Διόρθωση για την 5)

\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!
Όχι βέβαια! Πρώτα απ' όλα πρέπει τώρα να εξετάσεις το \displaystyle{\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}}. Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι το ίδιο με το
\displaystyle{\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}.

Το κυριότερο σφάλμα στον συλλογισμό σου είναι ότι δεν έχεις κατανοήσει τι είναι το \displaystyle{ \limsup\sqrt[n]{\left | a_n \right |} . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι \lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}.

Θα πρότεινα να τα ξεκαθαρίσεις. Δεν έχει νόημα να σου γράψουμε λεπτομέρειες για την λύση αν δεν έχεις τις γνώσεις να τις κατανοήσεις σε όλο τους το φάσμα.

Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε αλλά πρέπει πρώτα και εσύ να κάνεις τα σωστά βήματα.
Είχα δηλώσει εξ αρχής ότι δεν είμαι καθόλου σίγουρος για τις λύσεις που θα παραθέσω...Κατάλαβα που βρίσκεται το λάθος μου στη συγκεκριμένη άσκηση. Παρόλα αυτά ποιος είναι ο τρόπος υπολογισμού του \large limsup\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}?

Έψαξα διάφορες ασκήσεις και είδα ότι παρόμοιες δυναμοσειρές έχουν ακτίνα σύγκλισης \large R=1, αν έχετε να δώσετε κάποια λύση θα βοηθούσε πολύ!!

ΥΣ: Αν γνώριζα τις λύσεις, φαντάζομαι πως καταλαβαίνετε ότι θα ήταν περιττό να ανεβάσω το συγκεκριμένο θέμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 24, 2019 2:52 pm

Soniram89 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 2:29 pm
ΥΣ: Αν γνώριζα τις λύσεις, φαντάζομαι πως καταλαβαίνετε ότι θα ήταν περιττό να ανεβάσω το συγκεκριμένο θέμα.
Εννοείται. 'Ομως το σχόλιό μου δεν αναφέρεται σε αυτό! Εκείνο που επεσήμανα είναι ότι πρέπει να έχεις τις γνώσεις για να καταλάβεις την λύση που θα σου γράψουμε.

Για παράδειγμα, δεν φαίνεται να έχεις κατανοήσει τι είναι το \limsup. Προς τι λοιπόν να σου πούμε από τώρα πώς θα βρεις το
Soniram89 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 2:29 pm
Παρόλα αυτά ποιος είναι ο τρόπος υπολογισμού του \large limsup\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}?
Δες τι είναι το \limsup και εύκολα τότε θα λύσεις μόνος σου την άσκηση. Αλλιώς, πες μας μέχρι που έφτασες, για να σου δώσουμε λύση ή υπόδειξη για τα υπόλοιπα.

Παρακαλώ, επίσης, να μην κάνουμε μικροδιάλογο. Ας μένουμε σε πιο ολοκληρωμένες λύσεις ή πιο ολοκληρωμένες προσπάθειες λύσης.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 29, 2019 10:41 am

Soniram89 έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:26 pm
Ταλαιπωρούμαι εδώ και πολύ καιρό με το συγκεκριμένο μάθημα, ανεβάζω κάποιες ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα κάποια υπόδειξη-βοήθεια!!!
Ευχαριστώ πολύ όποιον μπορέσει να ασχοληθεί.

1 )Έστω \large \sum_{n=0}^{\infty }a_nz^n δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης \large R. Αποδείξτε ότι για \large R'<R υπάρχει γεωμετρική σειρά με λόγο \large q\epsilon \left ( 0,1 \right ): \large \sum_{n=0}^{\infty}\left | a_nz^n \right |\leq M\sum_{n=0}^{\infty}q^n στον κλειστό δίσκο \large \overline{D}\left ( 0,R' \right ) για κάποιο \large M>0.

2) Στον κύκλο \large C(0,r) δείξτε ότι: \large f(0)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }f(re^{i\theta})d\theta

3) Έστω \large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}. Αν \large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n είναι το ανάπτυγμα της f σε δυναμοσειρά με κέντρο 1/2. Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι μικρότερη από 3/2.

4) Δείξτε ότι στο δακτύλιο \large r_1<\left | z \right |<r_2 το ανάπτυγμα Laurent της \large \frac{1}{z-b}, \left | b \right |>r_2 έχει μόνο θετικές δυνάμεις του z.

5) Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της \large \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n,a_n:\left\{\begin{matrix} k^k, &n=k^2 \\ 0, & n\neq k^2 \end{matrix}\right.

6) Έστω \large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1, Δείξτε ότι \large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta . (Μου φαίνεται λίγο ελλειπής η εκφώνηση εδώ!!!)
Κάποιες παρατηρήσεις στις εκφωνήσεις.

Το 3) θα έπρεπε να γραφεί

Έστω \large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}. Αν \large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n είναι το ανάπτυγμα της f σε δυναμοσειρά με κέντρο 1/2. Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι 1/2.

ενώ το 6)

Έστω πολυώνυμο με
\large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1, Δείξτε ότι \large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες