Είναι απαραίτητα σταθερή;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι απαραίτητα σταθερή;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 04, 2019 5:36 pm

Στη σελίδα 48 και στην άσκηση 8 του περιοδικού που έδωσα σήμερα σε κυκλοφορία αναφέρεται η εξής άσκηση:

someome έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} . Έπεται ότι για κάθε x \in \mathbb{R} η f είναι σταθερή;

Λύση

Εφόσον f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} έπεται ότι f(x)=c forall x \in \mathbb{Q}. Έστω x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} και υποθέτουμε f(x_0) \neq c. Το \mathbb{Q} είναι πυκνό συνεπώς υπάρχει ακολουθία \{q_n\}_{n \in \mathbb{N}} ρητών αριθμών που να συγκλίνει στο x_0. Τότε:
\displaystyle{c \neq f\left ( x_0 \right ) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)= \lim_{n \rightarrow +\infty} f \left ( q_n \right ) = c}
που αντίκειται σε αυτό που υποθέσαμε στην αρχή. Άρα η f είναι σταθερή.
Την άσκηση την είχα δημοσιεύσει στο mathimatikoi.org και ο Γρηγόρης είχε δώσει τη παραπάνω λύση. Ο Σταύρος ( και όχι μόνο ) μου έστειλε μήνυμα ότι η λύση του Γρηγόρη δεν είναι σωστή.
  1. Πού εντοπίζετε τα λάθη στη παραπάνω λύση;
  2. Πώς θα απαντούσατε στην αρχική ερώτηση;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 04, 2019 7:23 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 5:36 pm
Στη σελίδα 48 και στην άσκηση 8 του περιοδικού που έδωσα σήμερα σε κυκλοφορία αναφέρεται η εξής άσκηση:

someome έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} . Έπεται ότι για κάθε x \in \mathbb{R} η f είναι σταθερή;

Λύση

Εφόσον f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} έπεται ότι f(x)=c forall x \in \mathbb{Q}. Έστω x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} και υποθέτουμε f(x_0) \neq c. Το \mathbb{Q} είναι πυκνό συνεπώς υπάρχει ακολουθία \{q_n\}_{n \in \mathbb{N}} ρητών αριθμών που να συγκλίνει στο x_0. Τότε:
\displaystyle{c \neq f\left ( x_0 \right ) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)= \lim_{n \rightarrow +\infty} f \left ( q_n \right ) = c}
που αντίκειται σε αυτό που υποθέσαμε στην αρχή. Άρα η f είναι σταθερή.
Την άσκηση την είχα δημοσιεύσει στο mathimatikoi.org και ο Γρηγόρης είχε δώσει τη παραπάνω λύση. Ο Σταύρος ( και όχι μόνο ) μου έστειλε μήνυμα ότι η λύση του Γρηγόρη δεν είναι σωστή.
  1. Πού εντοπίζετε τα λάθη στη παραπάνω λύση;
  2. Πώς θα απαντούσατε στην αρχική ερώτηση;
Το λάθος είναι ότι δεν ισχύει το

Εφόσον f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} έπεται ότι f(x)=c forall x \in \mathbb{Q}




Δεν προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι σταθερή.


Συγκεκριμένα
Υπάρχει f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

γνησίως αύξουσα

παραγωγίσημη παντού που το σύνολο \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}

περιέχει το \mathbb{Q}\cap [a,b].


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 04, 2019 10:13 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 7:23 pm

Υπάρχει f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

γνησίως αύξουσα

παραγωγίσημη παντού που το σύνολο \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}

περιέχει το \mathbb{Q}\cap [a,b].
Σωστά.

Τέτοιο παράδειγμα (όχι ιδιαίτερα δύσκολο) υπάρχει στην σελίδα 12 του Α. Van Rooij, W. Schikhof, A second course on real functions.

Αυτό τον καιρό τρέχω ένα Θερινό Μαθηματικό Σχολείο στο Πανεπιστήμιο Κρήτης, για παιδιά Στ Δημοτικού (βλέπε εδώ ) οπότε πνίγομαι. Μόλις βρω ευκαιρία θα σκανάρω την σχετική σελίδα, εκτός αν με προλάβει κάποιος άλλος.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 04, 2019 10:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 10:13 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 7:23 pm

Υπάρχει f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

γνησίως αύξουσα

παραγωγίσημη παντού που το σύνολο \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}

περιέχει το \mathbb{Q}\cap [a,b].
Σωστά.

Τέτοιο παράδειγμα (όχι ιδιαίτερα δύσκολο) υπάρχει στην σελίδα 12 του Α. Van Rooij, W. Schikhof, A second course on real functions.
Screen Shot 2019-07-04 at 22.22.59.png
Screen Shot 2019-07-04 at 22.22.59.png (138.49 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 04, 2019 11:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 10:25 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 10:13 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 7:23 pm

Υπάρχει f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

γνησίως αύξουσα

παραγωγίσημη παντού που το σύνολο \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}

περιέχει το \mathbb{Q}\cap [a,b].
Σωστά.

Τέτοιο παράδειγμα (όχι ιδιαίτερα δύσκολο) υπάρχει στην σελίδα 12 του Α. Van Rooij, W. Schikhof, A second course on real functions.
Screen Shot 2019-07-04 at 22.22.59.png
Δεν έχει καμία σχέση με το θέμα το παραπάνω.

Γνωρίζω παραπομπές που έχουν την κατασκευή της συνάρτησης.



Θέλουν και κάποια ''κόλπα'' για την απάντηση του αρχικού ερωτήματος.

Θα τις βάλω αργότερα η αύριο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 05, 2019 12:00 am

Θελω να δω την απάντηση του αρχικού ερωτήματος !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιούλ 05, 2019 10:01 am

Αντιπαράδειγμα στην αρχική άσκηση, αν καταλαβαίνω καλά, είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης παραγώγου Pompeiu;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 05, 2019 10:38 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Ιούλ 05, 2019 10:01 am
Αντιπαράδειγμα στην αρχική άσκηση, αν καταλαβαίνω καλά, είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης παραγώγου Pompeiu;
Ακριβώς.
Στον σύνδεσμο το προτελευταίο είναι ένα αναλυτικό άρθρο για το θέμα.

https://www.google.gr/search?source=hp& ... QklsesmwFg

Θα γράψω αναλυτικά αργότερα πως από τα παραπάνω προκύπτει το αρχικό ερώτημα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 05, 2019 11:36 am

Το βασικό (και δύσκολο) είναι το εξής

Αν a< b πραγματικοί
και (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
μια ακολουθία με a< a_{n}< b
τότε υπάρχει f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}
παραγωγίσημη γνησίως αύξουσα ώστε
Για κάθε n\in \mathbb{N}
a_{n}\in \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}

Εστω q_{n},n\in \mathbb{N} αρίθμηση των ρητών του \mathbb{R}
Θέτουμε a_{n}=\arctan q_{n}
Για a=-\frac{\pi }{2},b=\frac{\pi }{2}
υπάρχει η f που έγραψα παραπάνω.

Αν πάρουμε την g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
με g(x)=f(\arctan x)
είναι αυτή που θέλουμε.

Τόλη είναι εντάξει;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 05, 2019 11:47 am

Σταύρο μπορούμε να έχουμε πλήρη λύση για να την ανανεώσω στο περιοδικό αλλά και στο blog ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 05, 2019 2:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιούλ 05, 2019 11:47 am
Σταύρο μπορούμε να έχουμε πλήρη λύση για να την ανανεώσω στο περιοδικό αλλά και στο blog ;
Τόλη μια πλήρης λύση θα ήταν

Παίρνοντας το αποτέλεσμα από το

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=eng

(υπάρχει όλη η εργασία)

με μια συναρτηση της μορφής Ax+B

το πάμε σε ένα οποιοδήποτε κλειστό διάστημα.

Δηλαδή αυτό που έγραψα παραπάνω.

Μετά τελειώνουμε όπως έγραψα παραπάνω.

Δεν νομίζω ότι έχει νόημα να γράψουμε την απόδειξη που είναι στην εργασία.



Να σημειώσω ότι παίρνουμε κάτι ισχυρότερο από αυτό που ζητάμε.

Θέλουμε μη σταθερή ενώ παίρνουμε γνησίως αύξουσα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 05, 2019 2:03 pm

Συνοψίζοντας λοιπόν, η απάντηση στο ερώτημα είναι πως δεν έπεται υποχρεωτικά ότι η f είναι σταθερή; Κατάλαβα καλά;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2637
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 05, 2019 2:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιούλ 05, 2019 2:03 pm
Συνοψίζοντας λοιπόν, η απάντηση στο ερώτημα είναι πως δεν έπεται υποχρεωτικά ότι η f είναι σταθερή; Κατάλαβα καλά;
Πολύ καλά κατάλαβες.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2792
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιούλ 05, 2019 5:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 04, 2019 5:36 pm
Στη σελίδα 48 και στην άσκηση 8 του περιοδικού που έδωσα σήμερα σε κυκλοφορία αναφέρεται η εξής άσκηση:

someome έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} . Έπεται ότι για κάθε x \in \mathbb{R} η f είναι σταθερή;

Λύση

Εφόσον f'(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{Q} έπεται ότι f(x)=c forall x \in \mathbb{Q}. Έστω x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} και υποθέτουμε f(x_0) \neq c. Το \mathbb{Q} είναι πυκνό συνεπώς υπάρχει ακολουθία \{q_n\}_{n \in \mathbb{N}} ρητών αριθμών που να συγκλίνει στο x_0. Τότε:
\displaystyle{c \neq f\left ( x_0 \right ) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)= \lim_{n \rightarrow +\infty} f \left ( q_n \right ) = c}
που αντίκειται σε αυτό που υποθέσαμε στην αρχή. Άρα η f είναι σταθερή.
Την άσκηση την είχα δημοσιεύσει στο mathimatikoi.org και ο Γρηγόρης είχε δώσει τη παραπάνω λύση. Ο Σταύρος ( και όχι μόνο ) μου έστειλε μήνυμα ότι η λύση του Γρηγόρη δεν είναι σωστή.
  1. Πού εντοπίζετε τα λάθη στη παραπάνω λύση;
  2. Πώς θα απαντούσατε στην αρχική ερώτηση;
Άκρως διαφωτιστική η συζήτηση! (μαζί με τις προσωπικές μου ευχαριστίες).

Υ.Γ. Το ανησυχαστικό θα ήταν να μην συνεχίζω να μαθαίνω.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:34 am

Μου θύμισε κάτι από πολύ παλιά αυτό.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1073419


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot], Google [Bot] και 2 επισκέπτες