Συναρτησιακή με παράγωγο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2513
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Συναρτησιακή με παράγωγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 02, 2019 5:39 pm

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

για τις οποίες ισχύει

f(x)=f(\frac{x}{3})+\frac{2}{3}xf'(x)

για κάθε x\in \mathbb{R}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1242
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Αύγ 22, 2019 5:57 pm

Επαναφορά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm

Έχουμε:

\displaystyle  \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}

Παίρνοντας όρια έχουμε:

\displaystyle  \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})

Θα δείξουμε ότι η f'(x) είναι συνεχής σε κάθε x \in \mathbb{R}. Προφανώς είναι συνεχής στο 0 αφού τότε έχουμε \displaystyle  \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0). Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο x \neq 0. Τότε υπάρχει \varepsilon>0 ώστε για κάθε \delta > 0 υπάρχει y με |x-y| < \delta και |f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon. Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και y' με |x-y'| < \delta και |f'(x) - f'(y')| = \varepsilon.

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία (x_n) ώστε (x_n) \to (x) και f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon. Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon. Τότε όμως (για h = x_n - x) θα είχαμε ότι το \displaystyle  f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x} συγκλίνει όταν n \to \infty, άτοπο.

Έστω x > 0 και έστω A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}. Το A είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω s = \inf(A). Θα δείξουμε ότι s=0.

Έχουμε \displaystyle  \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής f'(s) = f'(t) για κάποιο t \in (\tfrac{s}{3},s). Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και t \in A.

Άρα f'(x) = f'(0) για κάθε x > 0 και ομοίως και για κάθε x < 0. Άρα η f'(x) είναι σταθερή και η f(x) γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2513
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 22, 2019 8:51 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm
Έχουμε:

\displaystyle  \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}

Παίρνοντας όρια έχουμε:

\displaystyle  \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})

Θα δείξουμε ότι η f'(x) είναι συνεχής σε κάθε x \in \mathbb{R}. Προφανώς είναι συνεχής στο 0 αφού τότε έχουμε \displaystyle  \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0). Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο x \neq 0. Τότε υπάρχει \varepsilon>0 ώστε για κάθε \delta > 0 υπάρχει y με |x-y| < \delta και |f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon. Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και y' με |x-y'| < \delta και |f'(x) - f'(y')| = \varepsilon.

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία (x_n) ώστε (x_n) \to (x) και f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon. Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon. Τότε όμως (για h = x_n - x) θα είχαμε ότι το \displaystyle  f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x} συγκλίνει όταν n \to \infty, άτοπο.

Έστω x > 0 και έστω A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}. Το A είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω s = \inf(A). Θα δείξουμε ότι s=0.

Έχουμε \displaystyle  \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής f'(s) = f'(t) για κάποιο t \in (\tfrac{s}{3},s). Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και t \in A.

Άρα f'(x) = f'(0) για κάθε x > 0 και ομοίως και για κάθε x < 0. Άρα η f'(x) είναι σταθερή και η f(x) γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Εχουμε s\in A γιατί το A κλειστό.
f' συνεχής)

2) Η συνέχεια της f' προκύπτει πολύ εύκολα ως εξής :

Για x\neq 0
είναι
\displaystyle f'(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{3})}{\frac{2}{3}x}(1)

συνεχής σαν πηλίκο συνεχών.

Για x=0 κάνουμε το εξής πιο απλό.

Στην (1) το δεξιό μέλος για x\rightarrow 0

έχει όριο το f'(0).

Αυτό προκύπτει προσθαφερόντας το f(0) στον αριθμητή και χρησιμοποιώντας ότι το
f'(0) υπάρχει.

Αρα για x\rightarrow 0 το όριο του αριστερού μέλους της (1)

υπάρχει και είναι f'(0) .

Αρα η f' είναι συνεχής στο 0


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 23, 2019 12:24 am

Ναι Σταύρο, έχεις δίκιο για το 1. Αυτός είναι άλλωστε ο λόγος που έδειξα τη συνέχεια της f'. Για να μπορώ να πω ότι το \inf(A) ανήκει στο A.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες