Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 04, 2019 12:16 am

Έστω n \geq 1 ακέραιος και θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} . Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\int_0^1 x^k f(x) \; \mathrm{d}x = 1} για κάθε 0 \leq k \leq n-1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_0^1 (f(x))^2 \; \mathrm{d}x \geq n^2}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 04, 2019 10:41 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Αύγ 04, 2019 12:16 am
Έστω n \geq 1 ακέραιος και θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} . Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\int_0^1 x^k f(x) \; \mathrm{d}x = 1} για κάθε 0 \leq k \leq n-1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_0^1 (f(x))^2 \; \mathrm{d}x \geq n^2}
Την έχουμε ξαναδεί.
Υπάρχουν δυο λύσεις.
Μια δική μου με πολυώνυμα Legendre και μια του Σιλουανού.

Είναι στα
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 04#p309504
και
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p114106


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες