Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω , , ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, , διὰ κάθε . Δείξατε ὅτι διὰ κάθε , ὑπάρχει , ὅπου καὶ , ὥστε , διὰ κάθε καὶ .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων
Μια λύση,έστω δοθέν, για κάθε ορίζουμε:Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 12:10 pmΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω , , ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, , διὰ κάθε . Δείξατε ὅτι διὰ κάθε , ὑπάρχει , ὅπου καὶ , ὥστε , διὰ κάθε καὶ .
παρατηρούμε ότι κάθε ένα από αυτά είναι κλειστό, καθώς:
και τα σύνολα: είναι κλειστά, αφού έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων.
Επίσης: , πράγματι έστω αφού
Αφού το είναι πλήρης μετρικός χώρος, το θεώρημα του Baire εξασφαλίζει ότι ένα από τα παραπάνω σύνολα, έχει μη κενό εσωτερικό, έστω το , τότε υπάρχει διάστημα: . Δηλαδή, για κάθε και για κάθε , που είναι το ζητούμενο.
Θυμίζει ένα θεώρημα του Osgood, όπου αν έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων και για κάθε , η είναι φραγμένη, υπάρχει διάστημα στο οποίο η να είναι ομοιόμορφα φραγμένη.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες