Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 496
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Σεπ 11, 2019 8:40 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ...δεν έχω λύση... ;)

\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\cdot logx}{e^{\sqrt{x}}}dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4527
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Σεπ 11, 2019 9:33 pm

mick7 έγραψε:
Τετ Σεπ 11, 2019 8:40 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ...δεν έχω λύση... ;)

\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\cdot logx}{e^{\sqrt{x}}}dx

Θα υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Mellin της συνάρτησης f(x)=e^{-\sqrt{x}}.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{M}\left ( f \right ) &= \int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2\int_{0}^{\infty} u^{2s-1} e^{-u} \, \mathrm{d}u\\  
 &= 2 \Gamma\left ( 2s \right ) 
\end{aligned}}
όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Τότε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\infty} x \log x e^{-\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x &= \mathcal{M}'(f) \bigg|_2 \\  
 &= \left ( 2 \Gamma(2s) \right )'\bigg|_{2}\\  
 &= 4 \Gamma(2s) \psi^{(0)}(2s) \bigg|_{2}\\  
 &=4 \Gamma(4) \psi^{(0)}(4) \\  
 &= 4 \cdot 6 \cdot \left ( \frac{11}{6} - \gamma \right ) \\ 
 &=44 - 24 \gamma 
\end{aligned}}
όπου \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni και \psi^{(0)} η διγάμμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες