Ένα επικαμπύλιο

Tolaso J Kos · #1

Έστω

αναλυτική στο δίσκο |z|<2

. Να δειχθεί ότι ( ; ) :

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi i} \oint \limits_{\left | z \right |=1} \frac{\overline{f(z)}}{z-a} \, \mathrm{d}z = \left\{\begin{matrix} \overline{f(0)} & , & \left | a \right |<1 \\\\ \overline{f(0)} - \overline{f\left ( \frac{1}{\bar{a}} \right )} & , & \left | a \right |>1 \end{matrix}\right.}$
Άνευ λύσης!

#2

Από Taylor μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n$ με την σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στον δίσκο |z| < 2

. Τότε έχουμε:

$\displaystyle \frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \frac{\overline{f(z)}}{z-\alpha} \,\mathrm{d}z =\frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\overline{c_n} \bar{z}^n}{z-\alpha} \,\mathrm{d}z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\overline{c_n}}{2\pi i }\oint_{|z|=1}\frac{ \bar{z}^n}{z-\alpha} \,\mathrm{d}z$

Η εναλλαγή ολοκληρώματος και σειράς επιτρέπεται λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης και του γεγονότος ότι ο |z|=1

είναι μέσα στον |z| < 2

.

Για

έχουμε $\displaystyle \bar z^n = \frac{1}{z^n}$ οπότε $\displaystyle I = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\overline{c_n}}{2\pi i }\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^n(z-\alpha)} \,\mathrm{d}z$

Έχουμε $\displaystyle \mathrm{Res}\left( \frac{1}{z^n(z-\alpha)};\alpha\right) = \frac{1}{\alpha^n}$ και για $n\geqslant 1$ , $\displaystyle \mathrm{Res}\left( \frac{1}{z^n(z-\alpha)};0\right) = -\frac{1}{\alpha^n}$ αφού

$\displaystyle \frac{1}{z^n(z-\alpha)} = -\frac{1}{\alpha z^n} \frac{1}{1-z/\alpha} = -\frac{1}{\alpha z^n}\left(1 + \tfrac{z}{\alpha} + \tfrac{z^2}{\alpha^2} + \cdots \right)$

Αν λοιπόν $|\alpha| < 1$ τότε το $\alpha$ είναι εντός του δίσκου |z| = 1

οπότε $I = \overline{c_0} = \overline{f(0)}$ . Αν $|\alpha| > 1$ τότε το $\alpha$ είναι εκτός του δίσκου |z| = 1

οπότε

$\displaystyle I = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{c_n}}{\alpha^n} = \overline{c_0} -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\overline{c_n}}{\alpha^n} = \overline{f(0)} - \overline{\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{\overline{\alpha}^n}\right)} = \overline{f(0)} - \overline{f\left(\tfrac{1}{\bar{\alpha}}\right)}$

Ένα επικαμπύλιο

Ένα επικαμπύλιο

Re: Ένα επικαμπύλιο

Μέλη σε σύνδεση