Σελίδα 1 από 1

Όριο ακολουθίας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 11:22 am
από Tolaso J Kos
Έστω f:[0, 1] \rightarrow (0, +\infty) συνεχής συνάρτηση και A το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων n για τα οποία υπάρχει πραγματικός αριθμός x_n τέτοιος ώστε

\displaystyle{\int_{x_n}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{n}}
Αποδείξατε ότι η ακολουθία \{x_n\}_{n \in A} είναι άπειρη ακολουθία και στη συνέχεια υπολογίσατε το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( x_n -1 \right)}

Re: Όριο ακολουθίας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 20, 2019 1:38 pm
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 20, 2019 11:22 am
Έστω f:[0, 1] \rightarrow (0, +\infty) συνεχής συνάρτηση και A το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων n για τα οποία υπάρχει πραγματικός αριθμός x_n τέτοιος ώστε

\displaystyle{\int_{x_n}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{n}}
Αποδείξατε ότι η ακολουθία \{x_n\}_{n \in A} είναι άπειρη ακολουθία και στη συνέχεια υπολογίσατε το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( x_n -1 \right)}
Για οποιοδήποτε σταθερό n με  0 < \frac {1}{n} < \int_{0}^{1} f(t) \, dt έχουμε: Επειδή η F(x)= \int_{x}^{1} f(t) \, dt είναι συνεχής συνάρτηση του x\in [0,1] με  0 < \frac {1}{n} < F(0)  και επειδή \displaystyle{\lim _{x\to 1} F(x)= 0}, έπεται από Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει x_n με \displaystyle{   F(x_n) = \frac {1}{n}  }. Αυτό δείχνει το πρώτο μέρος της άσκησης.

Έστω τώρα m>0 το ελάχιστο της f. Οπότε

\displaystyle{ m(1-x_n) \le \int_{x_n}^{1} f(t) \, dt = \frac {1}{n} } οπότε \displaystyle{1- \frac {1}{mn}  \le  x_n < 1}, και άρα x_n\to 1,

Από το Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού υπάρχει y_n μεταξύ 1 και x_n τέτοιο ώστε

\displaystyle{ \frac {1}{n} = \int_{x_n}^{1} f(t) \, dt = f(y_n) (1-x_n)   }.

Άρα \displaystyle{ n(x_n-1) = - \frac {1}{f(y_n) } \to -\frac {1}{f(1) }}