Σελίδα 1 από 1

Αριθμοθεωρητικό όριο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 21, 2019 5:55 pm
από Tolaso J Kos
Να υπολογιστεί το όριο :

\displaystyle{\ell= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} n \pmod m}
όπου r=n \pmod m τέτοιο ώστε 0\leq r< m.

Re: Αριθμοθεωρητικό όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 23, 2019 1:18 pm
από Demetres
Δηλαδή θέλουμε το

\displaystyle  \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{n} \left(n - m\left\lfloor  \tfrac{n}{m}\right\rfloor\right)

Ας παρατηρήσουμε ότι

\displaystyle  \sum_{m=1}^{n} m\left\lfloor  \tfrac{n}{m}\right\rfloor = \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/m \rfloor} m = \sum_{k=1}^{n}\sum_{m=1}^{\lfloor n/k \rfloor} m =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor  \tfrac{n}{k}\right\rfloor (\left\lfloor  \tfrac{n}{k}\right\rfloor + 1) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{n^2}{k^2} + O\left(\frac{n}{k}\right) \right)

Αφού \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} και H_n = O(\log{n}), το ζητούμενο όριο ισούται με \displaystyle  1 - \frac{\pi^2}{12} = \frac{12-\pi^2}{12}

Re: Αριθμοθεωρητικό όριο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 23, 2019 1:28 pm
από Tolaso J Kos
Κάπως διαφορετικά με άθροισμα Riemann ....

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} n \pmod m &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} \left ( n - m \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \right ) \\  
 &=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \left ( n^2 - \sum_{m=1}^{n} m \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \right ) \\  
 &=1 - \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{n} \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \\  
 &= 1 - \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \, \mathrm{d}x\\  
 &= \cdots \\ 
 &=1 - \frac{\pi^2}{12} 
\end{aligned}}
διότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \, \mathrm{d}x &\overset{u=1/x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{\infty} \frac{\left \lfloor u \right \rfloor}{u^3} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{n}{x^3} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right )\\  
 &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{n}{(n+1)^2} \right )\\  
 &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \right )\\ 
 &=\frac{1}{2}\cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right )} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} \\ 
 &=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\ 
 &=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right ) \\ 
 &=\frac{\pi^2}{12} 
\end{aligned}}