Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 8:23 am

Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις που λύνονται με χρήση αθροισμάτων Riemann.

Μερικές θα είναι αρκετά προσιτές (όχι όμως ρουτίνας) ενώ άλλες λίγο πιο απαιτητικές, αλλά θα αποφύγω τις ακρότητες ή
ασκήσεις από Ολυμπιάδες τύπου Putnam και λοιπά.

Απευθύνομαι κυρίως σε φοιτητές με γνώμονα να εξοικειωθούν με το άθροισμα Riemann, πέρα από τα προφανή.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 8:27 am

Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:15 am

Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2814
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:48 am

Άσκηση 3

Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το \int_{1}^{2}{x^2\,dx}, διαιρώντας το \left[{1,\,2}\right] με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:15 am
Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}
Διαμερίζουμε το [1,\,3] σε ίσες διαμερίσεις πλάτους 1/n. Έχουμε τότε το δοθέν άθροισμα

\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k}= \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 +  \frac{k}{n}} \to \int _1^3 \dfrac {1}{x} \,dx= \ln 3}
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 15, 2019 11:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:56 am

Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\ln\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}+\ln\sqrt[n+2]{\frac{n+2}{n}}+\cdots+\ln\sqrt[3n]{\frac{3n}{n}}\right)
Υπάρχει και ωραία γενίκευση. Για ακεραίους 0<A<B να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow + \infty}\sum_{k=An+1}^{Bn}\ln\sqrt[k]{\frac{k}{n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:15 am
Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)}
Ας δούμε και άλλον ένα τρόπο για την Άσκηση 2. Εδώ το άθροισμα Riemann είναι κρυμμένο στην απόδειξη της ιδιότητας \displaystyle{\displaystyle{ \sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\ln n \to \gamma}

\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k}= \sum _{k=1}^{3n} \dfrac{1}{k}-  \sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}= \left (  \sum _{k=1}^{3n} \dfrac{1}{k}- \ln (3n)\right ) - \left (  \sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} - \ln n \right ) + \ln 3n -\ln n  \to \gamma - \gamma + \ln 3= \ln 3
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 15, 2019 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:21 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:56 am
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(\ln\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}+\ln\sqrt[n+2]{\frac{n+2}{n}}+\cdots+\ln\sqrt[3n]{\frac{3n}{n}}\right)
To δοθέν ισούται

\displaystyle{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{n+k} \ln \frac{n+k}{n} = \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 +  \frac{k}{n}}\right ) \ln \left (1+  \dfrac{k}{n}}\right )  \to \int _1^3 \dfrac {\ln x}{x} \,dx=\dfrac {1}{2} \left [ (\ln x)^2\right ]_1^3 = \dfrac {1}{2} (\ln 3)^2}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 15, 2019 1:29 pm

Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{2^{1/n}}{n+1} +\frac{2^{2/n}}{n+1/2}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+{1/n}} \right)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pm

Άσκηση 6
  1. Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{1}{n} \ln n! - \ln n \right )}.
  2. Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:

    \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{n! e^n}{n^{n+1/2}\sqrt{2\pi}} \right )^{1/n} =1 }
  3. Τέλος να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} =\frac{1}{e}}.

Άσκηση 7

Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left ( 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3n-1) \right )^{1/n}}
Σημείωση: Το όριο αυτό προτάθηκε από τον Norman Schaumberger το Μάρτιο του 1984 στο περιοδικό The College Mathematics Journal. Η γενίνευση αργότερα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pm
Άσκηση 6
  1. Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{1}{n} \ln n! - \ln n \right )}.
  2. Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:

    \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{n! e^n}{n^{n+1/2}\sqrt{2\pi}} \right )^{1/n} =1 }
  3. Τέλος να δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} =\frac{1}{e}}.
Το πρώτο ισούται \displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n \ln  \dfrac {k}{n}\to \int _0^1 \ln x = -1}

To δεύτερο είναι επιτηδευμένη και άκομψη άσκηση αφού η παράσταση ισούται με \displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \cdot e \cdot \dfrac {1}{\sqrt [2n] n }\cdot \dfrac {1}{\sqrt [2n] {2\pi} }}, της οποίας οι δύο τελευταίοι παράγοντες τείνουν στο 1. Δηλαδή η άσκηση ανάγεται στο να βρούμε το όριο \displaystyle{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}, το οποίο είναι η τρίτη ερώτηση. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούμε το τρίτο όριο και από αυτό το δεύτερο, και όχι ανάποδα που τα ζητά η άσκηση.

Για το τρίτο όριο, ο λογάριθμος της παράστασης είναι \displaystyle{  \frac{1}{n} \ln n! - \ln n } , που είναι αυτό που βγάλαμε στο πρώτο βήμα. Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 7:25 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 1:29 pm
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

\displaystyle \ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{2^{1/n}}{n+1} +\frac{2^{2/n}}{n+1/2}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+{1/n}} \right)
Από τις ανισότητες \displaystyle{ \dfrac {1}{n+1}\le \dfrac {1}{n+1/k}\le \dfrac {1}{n}}, το δοθέν άθροισμα είναι ο μεσαίος όρος στην διπλή ανισότητα

\displaystyle{ \dfrac {1}{n+1}\sum _{k=1}^n 2^{k/n} \le\sum _{k=1}^n  \dfrac {2^{k/n}}{n+1/k} \le \dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^n 2^{k/n} }.

Τα δύο άκρα τείνουν στο \displaystyle{\int _0^1 2^x\, dx= \dfrac {1}{\ln 2}}, και λοιπά από ισοσυγκλίνουσες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 10:19 am

grigkost έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:48 am
Άσκηση 3

Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το \int_{1}^{2}{x^2\,dx}, διαιρώντας το \left[{1,\,2}\right] με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Ξεχάστηκε (όπως και η Άσκηση 1).

Έστω 0<c<1, το οποίο αργότερα θα πάρουμε να \to 1^-. Κοιτάμε την διαμέριση (την οποία γράφω φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο) 2,\, 2c, \, 2c^2, \,...\, , \,2c^N για κάποιο N που εξαρτάται από το c, με 2c^N\ge 1\ge 2c^{N+1}. To τελευταίο δίνει 2c^N\to 1 καθώς c\to 1 διότι η διαφορά του από το 1 είναι < 2c^N-2c^{N+1} =2c^N(1-c)<2(1-c)

To τυπικό διάστημα είναι [2c^k, \, 2c^{k+1}] και το άθροισμα Riemann είναι

\displaystyle{ \sum _{k=0}^{N-1}(2c^k)^2( 2c^{k+1}- 2c^{k}) = \sum _{k=0}^{N-1}2^3 (1-c)c^{3k}= 8(1-c)\dfrac {1-c^{3N}}{1-c^3}= \dfrac {8-(2c^{N})^3}{1+c+c^2} \to \dfrac {8-1^3}{3}= \dfrac {7}{3} }

Βρήκαμε δηλαδή το γνωστό \displaystyle{ \int_{1}^{2}{x^2\,dx}= \left [ \dfrac {x^3}{3} \right ] _1^2}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 7:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pm

Άσκηση 7

Να υπολογιστεί το όριο:
\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left ( 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3n-1) \right )^{1/n}}
To κάνω με τύπο Stirling που η απόδειξη του (Άσκηση 6) έγινε με άθροισμα Riemann.

Η ποσότητα είναι \displaystyle{< \frac{1}{n} \left ( 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdots (3n) \right )^{1/n}} = \frac{1}{n} ( 3^nn! )^{1/n}} = 3 \frac{\sqrt [n]{n!}}{n} \to  \frac{3}{e} }.

Επίσης είναι \displaystyle{> \frac{1}{n} \left ( 1 \cdot 3 \cdot 6 \cdots (3n-3) \right )^{1/n}} = \frac{1}{n} ( 3^{n-1}(n-1)! )^{1/n}} = 3^{1-1/n} \frac{\sqrt [n]{n!}}{n}\frac{1}{\sqrt [n]{n}} \to  \frac{3}{e} }.

Από ισoσυγκλίνουσες το ζητούμενο όριο είναι \displaystyle{\frac{3}{e}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 10:23 am

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Δεκ 27, 2019 8:00 am

Θα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 27, 2019 10:17 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 8:00 am
Θα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.
Συγνώμη για την καθυστερημένη απάντηση. Τώρα το είδα γιατί σχεδόν όλη μέρα είχα τρεχάματα.

Ο πιο εύκολος τρόπος να δεις το παραπάνω είναι μέσω του

\displaystyle{ \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n} \dfrac{1}{1 +  \frac{k}{n}} \to \int _0^2 \dfrac {1}{1+x} \,dx } που είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα που έγραψα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 28, 2019 6:10 pm

Επαναφορά η Άσκηση 1. Επίσης είναι αναπάντητη η Άσκηση 8.

Παροτρύνω τους φοιτητές μας να ασχοληθούν.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Δεκ 28, 2019 6:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 8:27 am
Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.
Αφού υπήρξε και η παρότρυνση, βάζω μια λύση.Βγάζοντας κοινό παράγοντα το n^{2} στο γινόμενο έχω:

\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}[\prod_{k=1}^{n}(n^{2}+k^{2})]^{\frac{1}{n}}=[\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})]^{\frac{1}{n}}}

ο λογάριθμος της έκφρασης ισούται με:

\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln(1+(\frac{k}{n})^{2})\rightarrow \int_{0}^{1}\ln(1+x^{2})dx=[x\ln(x^{2}+1)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}dx=\ln(2)-2+\int_{0}^{1}\frac{2}{x^{2}+1}dx=\ln(2)-2+2arctan(1)=\ln(2)+\frac{\pi}{2}-2}

και άρα η ακολουθία πάει στο e^{\ln(2)+\frac{\pi}{2}-2}.

Με μια κάποια επιφύλαξη γιατί έχω μια τάση στα αριθμητικά και δεν φαίνεται ιδιαίτερα κομψό το αποτέλεσμα.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 28, 2019 10:25 pm

:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης