Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 9
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου .
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
ΈστωMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pmΆσκηση 9
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου .
Παίρνοντας λογάριθμο έχουμε να υπολογίσουμε το όριο της
το οποίο είναι ίσο με
Aπό τη συνέχεια της εκθετικής
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 10
Να υπολογιστεί το όριο
όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.
Να υπολογιστεί το όριο
όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
’Ασκηση 11
Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :
Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Έχουμε
Θα χρησιμοποιήσω τώρα το γεγονός ότι η είναι γνησίως αύξουσα και ότι
Είναι
και
Άρα από την και τις τελευταίες παίρνουμε
Οπότε
Επιπλέον
Τελικά
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Βγάζοντας το από τη ρίζα θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της ακολουθίας
το οποίο είναι ίσο με
Έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 10
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
) και στο ολοκλήρωμα με
άρα
* με πρόλαβε ο κύριος Λάμπρος !
τελευταία επεξεργασία από ChrP σε Παρ Ιαν 10, 2020 9:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άσκηση 12
H παράσταση είναι ανάμεσα στις και (άμεσο). Και ο δύο τείνουν στο (στάνταρ κατά παράγοντες). Και λοιπά.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Καλησπέρα. Αν θες διόρθωσε τα άκρα ολοκλήρωσης και το τελικό αποτέλεσμα.
Εφαρμόζοντας ίδιο σκεπτικό με την Άσκηση 11:Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 04, 2020 11:43 pmΆσκηση 10
Να υπολογιστεί το όριο
όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.
Είναι
και επομένως
Τελικά (όπως στην άσκηση 11)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Ιαν 10, 2020 8:53 pmΆσκηση 10
Να υπολογιστεί το όριο
όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.
Πιο απλά.
Το άθροισμα είναι μεταξύ των και .
Και τα δύο τείνουν στο . Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Πιο απλά.
Το δοθέν άθροισμα είναι ανάμεσα στo και στο .
Και τα δύο τείνουν στο . Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση
Άσκηση 13
Έστω συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω ακολουθία θετικών όρων με . Τότε
(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).
Άσκηση 13
Έστω συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω ακολουθία θετικών όρων με . Τότε
(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 14
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου .
(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης . Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου .
(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης . Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 15
Να υπολογιστεί το όριο:
Να υπολογιστεί το όριο:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Σίγουρα; Όπως είναι αποκλίνει στο άπειρο αφού και το είναι της τάξης (σταθερά επί) .
Μαντεύω ότι η σωστή διατύπωση έχει . Σωστά;
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Σωστά... Τυπογραφικό λάθος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απάντηση: . Το κάνω κάπως σχολαστικά για όφελος των φοιτητών.
Με χρήση των έχουμε
.
Έστω τώρα . Επιλέγουμε τέτοιο ώστε για κάθε είναι . Κατόπιν επιλέχουμε τέτοιο ώστε για κάθε έχουμε . Άρα τότε
Μαζύ με την βρήκαμε ότι για είναι , Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 16
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου και πραγματικός.
(το δηλώνει ακέραιο μέρος.)
(Οι Ασκήσεις και είναι ανοικτές).
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας
, όπου και πραγματικός.
(το δηλώνει ακέραιο μέρος.)
(Οι Ασκήσεις και είναι ανοικτές).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες