Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pm

Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{   \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}, όπου c>0.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 04, 2020 6:22 am

Επαναφορά οι Ασκήσεις 8 και 9.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 04, 2020 11:31 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pm
Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{   \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}, όπου c>0.
Έστω a_n=\displaystyle{   \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}.

Παίρνοντας λογάριθμο έχουμε να υπολογίσουμε το όριο της

\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln \left ( c+\dfrac{i}{n} \right ) το οποίο είναι ίσο με

\displaystyle \int_{0}^{1}\ln\left ( c+x \right )dx= \int_{c}^{c+1}\ln xdx=\left [ x\ln x-x \right ]_{c}^{c+1}=

\displaystyle \left ( c+1 \right )\ln \left ( c+1 \right )-c\ln c-1=\ln \left ( \dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c} \right ).

Aπό τη συνέχεια της εκθετικής

\displaystyle a_n=e^{\ln a_n}\rightarrow e^ {\ln\frac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}}=\dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 04, 2020 11:43 pm

Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}

όπου c θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 05, 2020 11:19 am

’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow  + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Ιαν 05, 2020 10:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:19 am
’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow  + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}
Έχουμε

\displaystyle\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}= \frac{\ln\left ( 1+\dfrac{k}{n} \right )\left ( \sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}-1 \right )}{n\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}}. \left (\bigstar \right )

Θα χρησιμοποιήσω τώρα το γεγονός ότι η \dfrac{x-1}{x} είναι γνησίως αύξουσα και ότι \ln\left ( 1+x \right )\leq x

Είναι

\displaystyle \dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\leq \dfrac{k}{n^2}\leq \dfrac{1}{n}

και

\displaystyle \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}-1 }{\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}}\leq \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1 }{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}}=\dfrac{1}{n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}} \left ( \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1 \right ) }\leq \dfrac{1}{n}.

Άρα από την \left (\bigstar \right ) και τις τελευταίες παίρνουμε

\displaystyle\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}\leq \dfrac{1}{n^2}.

Οπότε

\displaystyle 0\leq \sum_{k=1}^{n}\left (\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }} \right )\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n}\rightarrow 0.

Επιπλέον

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\ln\left ( 1+\dfrac{k}{n} \right )}{n}\rightarrow \int_{0}^{1}\ln(1+x)dx=\ln4-1.

Τελικά

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}=

 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}-\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}+ \dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\right )=

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}-\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\right )+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\rightarrow 0+\ln 4-1=\ln 4-1.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιαν 06, 2020 9:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:23 am
Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}
Βγάζοντας το n^2 από τη ρίζα θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της ακολουθίας \displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{4-\left (\dfrac{k}{n} \right )^2}}

το οποίο είναι ίσο με \displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=\left [ \arcsin \left ( \dfrac{x}{2} \right ) \right ]_{0}^{1}=\dfrac{\pi }{6}.

Έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 10


ChrP
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 31, 2019 2:08 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ChrP » Παρ Ιαν 10, 2020 3:56 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:23 am
Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}
\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}=\frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{1}{n})^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{2}{n})^2}}+\cdots ++\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{n}{n})^2}})) \rightarrow \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx και στο ολοκλήρωμα x=2sint με dx=2cost dt
x^2=4-4cos^2(t) \Rightarrow 4-x^2=4cos^2(t) \Rightarrow \sqrt{4-x^2}=2cost 
άρα \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{2cost}{2cost}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}dt=\frac{\pi}{6}

* με πρόλαβε ο κύριος Λάμπρος !
τελευταία επεξεργασία από ChrP σε Παρ Ιαν 10, 2020 9:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ChrP
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 31, 2019 2:08 am

Άσκηση 12

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ChrP » Παρ Ιαν 10, 2020 4:03 pm

Να υπολογιστεί το όριο lim_{n \to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}sin\frac{k\pi}{n+1}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση 12

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 10, 2020 6:08 pm

ChrP έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 4:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο lim_{n \to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}sin\frac{k\pi}{n+1}
H παράσταση είναι ανάμεσα στις \displaystyle{\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n+1}\sin\dfrac{k\pi}{n+1}} και \displaystyle{\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\sin\dfrac{k\pi}{n}} (άμεσο). Και ο δύο τείνουν στο \displaystyle{\int _0^1x\sin (\pi x) \,dx= ...= \dfrac {1}{\pi}} (στάνταρ κατά παράγοντες). Και λοιπά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιαν 10, 2020 8:53 pm

ChrP έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 3:56 pm

άρα \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2cost}{2cost}dt=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}dt=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}

Καλησπέρα. Αν θες διόρθωσε τα άκρα ολοκλήρωσης και το τελικό αποτέλεσμα.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 11:43 pm
Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}

όπου c θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.
Εφαρμόζοντας ίδιο σκεπτικό με την Άσκηση 11:

Είναι

\displaystyle \left |\dfrac{1}{1+ nc^ \frac{i}{n}}-\dfrac{1}{ nc^ \frac{i}{n}} \right |= \dfrac{1}{nc^{\frac{i}{n}}\left ( 1+nc^{\frac{i}{n}} \right )}\leq \dfrac{1}{n^2c^{\frac{2i}{n}} }\leq \dfrac{1}{n^2}

και επομένως

\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\left |\dfrac{1}{1+ nc^ \frac{i}{n}}-\dfrac{1}{ nc^ \frac{i}{n}} \right |\leq  \sum_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{n+1}{n^2}\rightarrow 0

Τελικά (όπως στην άσκηση 11)

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}= \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{n c^\frac{i}{n}}=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{c^x} dx=\dfrac{c-1}{c\ln c}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 10, 2020 9:21 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 8:53 pm
Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}

όπου c θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.

Πιο απλά.

Το άθροισμα είναι μεταξύ των \displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{(1+n) c^\frac{i}{n}}= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{ c^\frac{i}{n}}\,\,} και \displaystyle{\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{n c^\frac{i}{n}}= \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{ c^\frac{i}{n}}}.

Και τα δύο τείνουν στο \displaystyle{ \int _0^1\dfrac {1}{c^x}\,dx}. Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 12:57 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:19 am
’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow  + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}
Πιο απλά.

Το δοθέν άθροισμα είναι ανάμεσα στo \displaystyle{ \sum _{k = 1}^n {\dfrac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + n} }} =\dfrac {1}{\sqrt {1+ 1/n} }\cdot  \dfrac {1}{n}  \sum _{k = 1}^n \ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)\,\,} και στο \displaystyle{ \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} } }}=\dfrac {1}{n}  \sum _{k = 1}^n \ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right )  }.

Και τα δύο τείνουν στο \displaystyle{ \int _0^1 \ln (1+x)dx=\ln 4 -1}. Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:09 am

Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση

Άσκηση 13

Έστω f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω (a_n) ακολουθία θετικών όρων με \displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=0}. Τότε

\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )= \int _0^1 f(x)\,dx}

(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 11:26 pm

Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{ \dfrac {1}{n}  \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}, όπου d>0.

(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης 9. Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 12:21 pm

Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{k+1/k}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 12, 2020 2:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:21 pm
Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{k+1/k}}
Σίγουρα; Όπως είναι αποκλίνει στο άπειρο αφού \displaystyle{  k^{k+1/k} \ge k^2} και το \displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2} είναι της τάξης (σταθερά επί) n^3.

Μαντεύω ότι η σωστή διατύπωση έχει \displaystyle{k^{(k+1)/k}}}. Σωστά;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 3:03 pm

Σωστά... Τυπογραφικό λάθος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 16, 2020 10:29 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:21 pm
Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}}
Απάντηση: \displaystyle{\frac{1}{2}}. Το κάνω κάπως σχολαστικά για όφελος των φοιτητών.

Με χρήση των \displaystyle{1\le k^{1/k} \to 1} έχουμε

\displaystyle{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}}  \ge \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k}} = \frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2}\, (*)}.

Έστω τώρα \epsilon >0. Επιλέγουμε k_o τέτοιο ώστε για κάθε k\ge k_o είναι 1\le k^{1/k} < 1+\epsilon. Κατόπιν επιλέχουμε n_o τέτοιο ώστε για κάθε n\ge n_o έχουμε \displaystyle{0< \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{k_o} k^{(k+1)/k} < \epsilon }. Άρα τότε

\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{k_o} k^{(k+1)/k}}+ \frac{1}{n^2}\sum_{k=k_o+1}^{n} k^{(k+1)/k}}< \epsilon + \frac{1}{n^2}\sum_{k=k_o+1}^{n} k (1+\epsilon) }<}

\displaystyle{ < \epsilon + \frac{1+\epsilon }{n^2}\sum_{k=1}^{n} k  =  \epsilon + \frac{1}{2} (1+\epsilon)\left (  1+ \frac{1 }{n} \right )=   \epsilon + \frac{1}{2}  + \frac{1}{2}  \left (  \epsilon + \frac{1 }{n} + \frac{\epsilon  }{n}\right ) <  \frac{1}{2}  + 4 \epsilon}

Μαζύ με την (*) βρήκαμε ότι για n\ge n_o είναι \displaystyle{\frac{1}{2} < \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}} < \frac{1}{2} + 4 \epsilon}, Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 16, 2020 11:22 pm

Άσκηση 16

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας

\displaystyle{ \displaystyle{ \dfrac {1}{n^{a+1}} \left ( [1^ad]+[2^ad]+[3^ad]+...+[n^ad]\right )}, όπου a>0 και d πραγματικός.

(το [c] δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Οι Ασκήσεις 13 και 14 είναι ανοικτές).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες