Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

#1

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\int _0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt t dt + \int _0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t dt}$ , όπου $x\in [0, \pi /2]$ .

(Θα μπορούσε να ήταν Σχολική άσκηση αν ήταν εντός ύλης οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως συμβαίνει σε όλο τον κόσμο).

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 6:43 pm
Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\int _0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt t dt + \int _0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t dt}$ , όπου $x\in [0, \pi /2]$ .

(Θα μπορούσε να ήταν Σχολική άσκηση αν ήταν εντός ύλης οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως συμβαίνει σε όλο τον κόσμο).

Γεια σας κ. Μιχάλη. Καλές γιορτές...!

Θεωρούμε συνάρτηση $\displaystyle{\mathrm{F}(x)= \int_0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt{t} \,\mathrm{d}t + \int_0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t \;\mathrm{d}t}$ η οποία είναι συνεχής στο $\left[0, \frac{\pi}{2} \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{F}'(x) &= \left ( \int_0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt{t} \,\mathrm{d}t + \int_0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t \;\mathrm{d}t \right )' \\ &=2 \sin x \cos x\arcsin \sqrt{\sin^2 x} - 2 \sin x \cos x \arccos \sqrt{\cos^2 x} \\ &= 2\sin x \cos x \arcsin(\sin x) - 2 \sin x \cos x \arccos ( \cos x)\\ &= \cancel{2x \sin x \cos x - 2x \sin x \cos x} \\ &= 0 \end{aligned}}$
Άρα η $\mathrm{F}$ είναι σταθερή στο εν λόγω διάστημα. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{F}\left ( \frac{\pi}{4} \right ) &= \int_{0}^{1/2} \arcsin \sqrt{t} \, \mathrm{d}t + \int_{0}^{1/2} \arccos \sqrt{t} \, \mathrm{d}t \\ &=\int_{0}^{1/2} \left ( \arcsin \sqrt{t} + \arccos \sqrt{t} \right ) \, \mathrm{d}t \\ &=\int_{0}^{1/2} \left ( \cancel{\arcsin \sqrt{t}} + \frac{\pi}{2} - \cancel{\arcsin \sqrt{t}} \right ) \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{1/2} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #3

Θα μπορούσαμε να θέσουμε όπου x=0

και έτσι να υπολογίσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \arccos \sqrt{t} \, \mathrm{d}t &= \int_{0}^{1} \arccos \sqrt{1-t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( \arccos \sqrt{t} + \arccos \sqrt{1-t} \right ) \, \mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( \arccos \sqrt{t} +\arcsin \sqrt{t} \right ) \, \mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\pi}{2}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}}$
Παλιό παρόμοιο θέμα εδώ... πριν

χρόνια. Πωπω!!

Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

Re: Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

Re: Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

Μέλη σε σύνδεση