Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 23, 2019 6:43 pm

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

\displaystyle{\int _0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt t dt + \int _0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t dt} , όπου x\in [0, \pi /2].

(Θα μπορούσε να ήταν Σχολική άσκηση αν ήταν εντός ύλης οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως συμβαίνει σε όλο τον κόσμο).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 23, 2019 7:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 23, 2019 6:43 pm
Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

\displaystyle{\int _0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt t dt + \int _0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t dt} , όπου x\in [0, \pi /2].

(Θα μπορούσε να ήταν Σχολική άσκηση αν ήταν εντός ύλης οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως συμβαίνει σε όλο τον κόσμο).

Γεια σας κ. Μιχάλη. Καλές γιορτές...!


Θεωρούμε συνάρτηση \displaystyle{\mathrm{F}(x)= \int_0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt{t} \,\mathrm{d}t + \int_0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t \;\mathrm{d}t} η οποία είναι συνεχής στο \left[0, \frac{\pi}{2} \right] και παραγωγίσιμη στο \left(0, \frac{\pi}{2} \right). Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{F}'(x) &= \left ( \int_0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt{t} \,\mathrm{d}t + \int_0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt t \;\mathrm{d}t \right )' \\  
 &=2 \sin x \cos x\arcsin \sqrt{\sin^2 x} - 2 \sin x \cos x \arccos \sqrt{\cos^2 x} \\  
 &= 2\sin x \cos x \arcsin(\sin x) - 2 \sin x \cos x \arccos ( \cos x)\\  
 &= \cancel{2x \sin x \cos x - 2x \sin x \cos x} \\ 
 &= 0 
\end{aligned}}
Άρα η \mathrm{F} είναι σταθερή στο εν λόγω διάστημα. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{F}\left ( \frac{\pi}{4} \right ) &=  \int_{0}^{1/2} \arcsin \sqrt{t} \, \mathrm{d}t + \int_{0}^{1/2} \arccos \sqrt{t} \, \mathrm{d}t  \\  
 &=\int_{0}^{1/2} \left ( \arcsin \sqrt{t} + \arccos \sqrt{t} \right ) \, \mathrm{d}t  \\  
 &=\int_{0}^{1/2} \left ( \cancel{\arcsin \sqrt{t}} + \frac{\pi}{2} - \cancel{\arcsin \sqrt{t}} \right ) \, \mathrm{d}t \\  
 &=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{1/2} \, \mathrm{d}t \\  
 &= \frac{\pi}{4}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με αντίστροφες τριγωνομετρικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 23, 2019 8:01 pm

Θα μπορούσαμε να θέσουμε όπου x=0 και έτσι να υπολογίσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \arccos \sqrt{t} \, \mathrm{d}t &= \int_{0}^{1} \arccos \sqrt{1-t}\, \mathrm{d}t \\  
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( \arccos \sqrt{t} + \arccos \sqrt{1-t} \right ) \, \mathrm{d}t\\    
 &=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( \arccos \sqrt{t} +\arcsin \sqrt{t} \right ) \, \mathrm{d}t\\ 
 &=\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\pi}{2}\, \mathrm{d}t \\  
 &= \frac{\pi}{4}  
\end{aligned}}
Παλιό παρόμοιο θέμα εδώ... πριν 5 χρόνια. Πωπω!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες