Ας συμπληρώσω τη λύση που υποσχέθηκα, μιας και την έκανα.
Έστω τυχαίες μεταβλητές

οι οποίες είναι ανεξάρτητες και εκθετικά κατανεμημένες με παράμετρο
δηλαδή με κατανομή

και αντίστοιχη πυκνότητα
Θεωρούμε τώρα τις διατεταγμένες τυχαίες μεταβλητές

όπου ώς
έχουμε θεωρήσει το σύνολο των

μετά από μετάθεση ώστε
να βρίσκεται σε αύξουσα διάταξη, δηλαδή
Η πυκνότητα της

προκύπτει τώρα ως εξής:
Σε (μικρό) διάστημα

η πιθανότητα η

να ανήκει στο

,
και οι υπόλοιπες αριστερά από αυτό το διάστημα, είναι (προσεγγιστικά)
όπως το πλήθος των τρόπων να επιλέξουμε

από τις
τυχαίες μεταβλητές

και να την βάλουμε στη θέση της μέγιστης επί τις πιθανότητες η μέγιστη να
πέσει στο διάστημα που αναφέραμε και οι υπόλοιπες πριν. Διαιρώντας με

και έπειτα παίρνοντας

, εκμεταλλευόμενοι τη συνέχεια της εκθετικής, βρίσκουμε
Μπορούμε να αποφύγουμε τα

και να δώσουμε μια πιο αυστηρή απόδειξη αλλά αυτός ο τρόπος είναι
πιο διαισθητικός.
Το ολοκλήρωμα της εκφώνησης εύκολα μπορούμε να δούμε τώρα ότι είναι η
Εφαρμόζοντας παρόμοιο σκεπτικό, η από κοινού κατανομή των
είναι
Εδώ απλά έχουμε

τρόπους για να μεταθέσουμε τις

και κάθε μια από αυτές
να τις τοποθετήσουμε στα (ξένα μεταξύ τους)
με τις κατάλληλες πιθανότητες . Έπειτα παίρνουμε
Η ιδέα μου τώρα ήταν να δούμε αν μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τη γραμμικότητα της μέσης τιμής εκφράζοντας την

σαν άθροισμα τυχαίων μεταβλητών. Αυτό είναι δυνατό αρκεί να παρατηρήσουμε το εξής:
δηλαδή η από κοινού πυκνότητα των

εκφράζεται σαν από κοινού πυκνότητα ανεξάρτητων και ισόνομων
τυχαίων μεταβλητών

με εκθετική κατανομή παραμέτρου
Επομένως η περιθώρια

μπορεί να εκφραστεί ως

όπου
Το τελευταίο όμως δεν είναι τίποτα άλλο παρά η πυκνότητα της νιοστής συνέλιξης ανεξάρτητων εκθετικά
κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών. Εφαρμόζοντας τώρα τη γραμμικότητα έχουμε
