Ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

petrosnr
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Παρ Δεκ 20, 2019 11:00 am

Ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosnr » Παρ Δεκ 27, 2019 6:31 pm

Να εξεταστεί αν συγκλίνει ομοιόμορφα η σειρά :
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(nx)}{x^{2n}+ln(n)}}, για κάθε χ στο διάστημα [1,+\infty)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 27, 2019 11:17 pm

petrosnr έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 6:31 pm
Να εξεταστεί αν συγκλίνει ομοιόμορφα η σειρά :
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(nx)}{x^{2n}+ln(n)}}, για κάθε χ στο διάστημα [1,+\infty)
Η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα.

Για x\geq 1+\epsilon
είναι
\displaystyle |\frac{cos(nx)}{x^{2n}+ln(n)}|\leq \frac{1}{(1+\epsilon )^{2n}}

και από γνωστό κριτήριο έχουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση.

Για 1\leq x\leq 1+\epsilon
εχουμε λίγη δουλειά.

Θέτουμε \displaystyle a_{n}=\frac{1}{x^{2n}+\ln n}
που είναι φθίνουσα και μηδενική.
και
\displaystyle  D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+...+\cos nx=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}
Είναι
\displaystyle  \sum_{n=m}^{k}\frac{cos(nx)}{x^{2n}+ln(n)}=\sum_{n=m}^{k}a_{n}(D_{n}(x)-D_{n-1}(x))=
\displaystyle  -a_{m}D_{m-1}(x)+\sum_{n=m}^{k-1}D_{n}(x)(a_{n}-a_{n+1})+a_{k}D_{k}(x)(1)

Επειδή \displaystyle |D_{n}(x)|\leq |\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}|\leq|\frac{1}{2\sin \frac{1}{2}}|=C
χρησιμοποιώντας την (1) έχουμε

\displaystyle |\sum_{n=m}^{k}\frac{cos(nx)}{x^{2n}+ln(n)}|\leq 2a_{m}C

που δείχνει ότι είναι ομοιόμορφα Cauchy.

Αρα έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση και σε αυτό το διάστημα .

Είναι τετριμμένο ότι έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση και στο αρχικό διάστημα.

Συμπλήρωμα Θα μπορούσαμε να βάλουμε στην θέση του   \epsilon το 1.
Επειδή αρχικά δεν το κοίταξα το έκανα με το   \epsilon.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης