Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Φεβ 26, 2020 1:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t

Επαναφορά. Απάντηση 1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 26, 2020 1:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t
Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με \displaystyle  \frac{1}{x(x+1)}\cot c^2 ,\frac{1}{x+1}<c<\frac{1}{x}
Επειδή είναι
\displaystyle  \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x(x+1)}\cot \frac{1}{x^{2}}=1
και
\displaystyle  \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x(x+1)}\cot \frac{1}{(x+1)^{2}}=1
(ευκολες αποδείξεις για αυτόν τον φάκελλο)
προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 26, 2020 4:09 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t
Αλλιώς: Αφού \displaystyle{  \lim_{s \rightarrow 0}\frac{\tan s}{s}=1} σημαίνει ότι για οποιαδήποτε a,b με a<1<b ισχύει (με s=t^2) ότι

\displaystyle{a< \frac{\tan t^2}{t^2} <b} για κατάλληλα μικρά t. Άρα \displaystyle{ \frac{1}{bt^2} < \cot t^2 < \frac{1}{at^2}}. Ολοκληρώνουμε από \displaystyle{\frac{1}{x+1}} έως \displaystyle{{\frac{1}{x}}}. Προκύπτει

\displaystyle{ \frac{1}{b}  < \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}}  \cot t^2 dt< \frac{1}{a}}, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες