Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t$

Επαναφορά. Απάντηση

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t$

Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}\cot c^2 ,\frac{1}{x+1}<c<\frac{1}{x}$
Επειδή είναι
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x(x+1)}\cot \frac{1}{x^{2}}=1$
και
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x(x+1)}\cot \frac{1}{(x+1)^{2}}=1$
(ευκολες αποδείξεις για αυτόν τον φάκελλο)
προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 07, 2020 12:08 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t$

Αλλιώς: Αφού $\displaystyle{ \lim_{s \rightarrow 0}\frac{\tan s}{s}=1}$ σημαίνει ότι για οποιαδήποτε a,b

με

ισχύει (με s=t^2

) ότι

$\displaystyle{a< \frac{\tan t^2}{t^2} <b}$ για κατάλληλα μικρά

. Άρα $\displaystyle{ \frac{1}{bt^2} < \cot t^2 < \frac{1}{at^2}}$ . Ολοκληρώνουμε από $\displaystyle{\frac{1}{x+1}}$ έως $\displaystyle{{\frac{1}{x}}}$ . Προκύπτει

$\displaystyle{ \frac{1}{b} < \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 dt< \frac{1}{a}}$ , και λοιπά.

Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Re: Ολοκληρωτικό τριγωνομετρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση