Άθροισμα Riemann

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\sigma$ το άθροισμα των διαιρετών του

. Ας δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sigma(k) = \frac{\pi^2}{12}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:28 pm
Έστω $\sigma$ το άθροισμα των διαιρετών του . Ας δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sigma(k) = \frac{\pi^2}{12}}$

$\displaystyle{ \frac {1}{n^2}\sum_{k\le n}\sigma(k) = \frac {1}{n^2}\sum_{k\le n}\sum_{q|k}q = \frac {1}{n^2}\sum_{q,d:\, qd\le n}q = \frac {1}{n^2} \sum_{d\le n} \sum_{q\le n/d}q = }$

$\displaystyle{ = \frac {1}{2n^2}\sum_{d\le n} \left ( \frac {n^2}{d^2}+ \big O\left ( \frac {n}{d}\right) \right )= \frac {1}{2}\sum_{d\le n} \frac {1}{d^2}+ \big O\left ( \frac {1}{n}\sum_{d\le n} \frac {1}{d}\right) = }$

$\displaystyle{=\frac {1}{2}\left ( \zeta (2) -\frac {1}{n} + \big O\left ( \frac {1}{n^2}\right )\right ) + \big O\left ( \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) }$ , όπως θέλαμε.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 11:55 pm

$\displaystyle{ ... = \frac {1}{2}\sum_{d\le n} \frac {1}{d^2}+ \big O\left ( \frac {1}{n}\sum_{d\le n} \frac {1}{d}\right) = }$

$\displaystyle{=\frac {1}{2}\left ( \zeta (2) -\frac {1}{n} + \big O\left ( \frac {1}{n^2}\right )\right ) + \big O\left ( \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) }$ , όπως θέλαμε.

Μπορούμε βέβαια να γλυτώσουμε τις εκτιμήσεις που υπάρχουν στην μεγάλη παρένθεση στην τελευταία γραμμή. Περιττεύουν. Πιο άμεσα,

$\displaystyle{ \frac {1}{2}\sum_{d\le n} \frac {1}{d^2}+ \big O\left ( \frac {1}{n}\sum_{d\le n} \frac {1}{d}\right) = }}$

$\displaystyle{=\ \frac {1}{2}\sum_{d\le n} \frac {1}{d^2} + \big O\left ( \frac {1}{n}\log n\right)\to \frac {1}{2} \zeta (2) +0}$

Τόλη, γιατί ονόμασες "Άθροισμα Riemann" το ποστ; Ναι μεν θυμίζει άθροισμα Riemann, αλλά είναι; Κρύβεται κάποιο ολοκλήρωμα από πίσω;

Tolaso J Kos · #4

Ναι , υπάρχει ένα ολοκληρώμα απο πίσω. Βλέπε εδώ.

Άθροισμα Riemann

Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Μέλη σε σύνδεση