Σειρές Fourier

papamixalis · #1

Καλησπέρα

και καλή χρονιά σε όλους.

Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα προσπαθήσω να περιγράψω όσο πιο αναλυτικά το πρόβλημα με ένα παράδειγμα.

Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα

W(x,y)xx + W(x,y) yy=0 , 0<x<1,0<y<1

Προχωράω κανονικά με μέθοδο χωρισμού μεταβλητών και καταλήγω ότι
$W(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}{Cnsin(n\pi x)[e^{n\pi y}-e^{-n\pi y}]$

Από την συνοριακή συνθήκη προκύπτει : $x^2-x=\sum_{n=1}^{\infty}{Cnsin(n\pi x)[e^{n\pi}-e^{-n\pi}]$

Και εδώ ξεκινάει το πρόβλημα μου. Στις σημειώσεις μου εξισώνουμε τον συντελεστή $Cn[e^{n\pi}-e^{-n\pi}]$ με το
$2\int_{0}^{1}{(x^2-x)sin(n\pi x)$ δηλαδή τον συντελεστή του $sin(n\pi x)$ στο ανάπτυγμα Φουριέ της x^2-x

Όμως εγώ σαν ανάπτυγμα Φουριέ αυτής της συνάρτησης βρήκα το
$f(x)=\dfrac{A0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}{Ancos(n\pi x)+Bnsin(n\pi x)$ όπου
$A0=\dfrac{1}{6}$
$An=\dfrac{2(-1)^n+2}{n^2(\pi)^2}$
$Bn=\dfrac{8((-1)^n-1)}{n^3(\pi)^3}$

Αφού λοιπόν τα A0,An

δεν είναι ταυτοτικά

γιατί δεν τα λαμβάνουμε υπ'όψην ;

Ελπίζω να μην είναι κάτι υπερβολικά τετριμμένο γιατί το σκέφτομαι αρκετή ώρα

Ακόμα δεν έχω έρθει σε επαφή με ανάλυση Φουριέ (είναι επιλογής στο επόμενο εξάμηνο που σκοπεύω να πάρω) και όσο το έψαξα στο βιβλίο μου και σε ιντερνετικές σημειώσεις δεν βρήκα απάντηση. Δυστυχώς δεν έχω αρκετό χρόνο προς το παρόν για να εστιάσω στην θεωρία του Φουριέ, οπότε πριν το χρησιμοποιήσω τυφλά(μεθοδολογικά) θα προτιμούσα να το καταλάβω όσο γίνεται.

Ευχαριστώ προκαταβολικά για όποιον ασχοληθεί και συγνώμη για την μεγάλη έκταση του ποστ, απλά προσπάθησα να είμαι όσο πιο αναλυτικός μπορούσα.

Φιλικά,
Μιχάλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

papamixalis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 5:42 pm
Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους.

Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα προσπαθήσω να περιγράψω όσο πιο αναλυτικά το πρόβλημα με ένα παράδειγμα.

Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα

Προχωράω κανονικά με μέθοδο χωρισμού μεταβλητών και καταλήγω ότι
$W(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}{Cnsin(n\pi x)[e^{n\pi y}-e^{-n\pi y}]$

Από την συνοριακή συνθήκη προκύπτει : $x^2-x=\sum_{n=1}^{\infty}{Cnsin(n\pi x)[e^{n\pi}-e^{-n\pi}]$

Και εδώ ξεκινάει το πρόβλημα μου. Στις σημειώσεις μου εξισώνουμε τον συντελεστή $Cn[e^{n\pi}-e^{-n\pi}]$ με το
$2\int_{0}^{1}{(x^2-x)sin(n\pi x)$ δηλαδή τον συντελεστή του $sin(n\pi x)$ στο ανάπτυγμα Φουριέ της
Όμως εγώ σαν ανάπτυγμα Φουριέ αυτής της συνάρτησης βρήκα το
$f(x)=\dfrac{A0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}{Ancos(n\pi x)+Bnsin(n\pi x)$ όπου
$A0=\dfrac{1}{6}$
$An=\dfrac{2(-1)^n+2}{n^2(\pi)^2}$
$Bn=\dfrac{8((-1)^n-1)}{n^3(\pi)^3}$

Αφού λοιπόν τα δεν είναι ταυτοτικά γιατί δεν τα λαμβάνουμε υπ'όψην ;

Ελπίζω να μην είναι κάτι υπερβολικά τετριμμένο γιατί το σκέφτομαι αρκετή ώρα
Ακόμα δεν έχω έρθει σε επαφή με ανάλυση Φουριέ (είναι επιλογής στο επόμενο εξάμηνο που σκοπεύω να πάρω) και όσο το έψαξα στο βιβλίο μου και σε ιντερνετικές σημειώσεις δεν βρήκα απάντηση. Δυστυχώς δεν έχω αρκετό χρόνο προς το παρόν για να εστιάσω στην θεωρία του Φουριέ, οπότε πριν το χρησιμοποιήσω τυφλά(μεθοδολογικά) θα προτιμούσα να το καταλάβω όσο γίνεται.

Ευχαριστώ προκαταβολικά για όποιον ασχοληθεί και συγνώμη για την μεγάλη έκταση του ποστ, απλά προσπάθησα να είμαι όσο πιο αναλυτικός μπορούσα.

Φιλικά,
Μιχάλης

Σε αυτή την περίπτωση αναπτύσσουμε σε σειρά ημιτόνων γιαυτό έχει το βιβλίο
σου αυτόν τον τύπο.
Επίσης
$f(x)=\dfrac{A0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}{Ancos(n\pi x)+Bnsin(n\pi x)$
δεν είναι το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης.
Ο λόγος είναι απλός.
Η σειρά έχει περίοδο

ενω αν επεκτείνουμε περιοδικά την συνάρτηση
θα έχουμε περίοδο

.
Και κάτι τελευταίο.
Δεν γράφουμε

όταν έχουμε την συνάρτηση και την σειρά Fourier της
Γράφουμε $\sim$

Διότι γενικά δεν είναι η σειρά ίση με την συνάρτηση.
Αν θέλεις κάτι άλλο μπορείς να ρωτήσεις.

papamixalis · #3

Νομίζω έχω αρχίσει να καταλαβαίνω.
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Καλό βράδυ,
Μιχάλης

Σειρές Fourier

Σειρές Fourier

Re: Σειρές Fourier

Re: Σειρές Fourier

Μέλη σε σύνδεση