Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

#1

Έστωσαν η επιφάνεια

με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη

που είναι η τομή του επιπέδου y=0

με την

.

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .
Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

#2

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

Γρηγόρη καλημέρα από Γρεβενά...

Θα επιχειρήσω να πω μερικές ιδέες μου για το ανωτέρω θέμα.

Η επιφάνεια αυτή είναι μια "παραβολική κυλινδρική επιφάνεια" και έχει την ακόλουθη μορφή:

: Επιφάνεια 11.png (51.74 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

Αξίζει αρχικά να αναφέρουμε τον τρόπο που αυτή δημιουργείται.
Ακόμα στο δεύτερο σχήμα βλέπουμε την προβολή αυτής στο οριζόντιο επίπεδο καθώς
και την τομή αυτής με το επίπεδο $\displaystyle{y=0}$ .

: Επιφάνεια 12.png (60.96 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

Πριν όμως αυτό, ας δούμε τον τρόπο με τον οποίο αυτή σχεδιάζεται με ένα λογισμικό στον
ακόλουθο σύνδεσμο:

Επιφάνεια 1Α.ggb: (17.79 KiB) Μεταφορτώθηκε 55 φορές

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#3

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

(Συνέχεια...)

Ας δούμε τώρα, πώς σχηματίζεται η επιφάνεια αυτή, σκεπτόμενοι στο επόμενο σχήμα:

: Επιφάνεια 1β.png (27.19 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{M(u,v)}$ εντός του τετραγώνου $\displaystyle{ABCD}$ το οποίο το οποίο
έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και πλευρά ίση με $\displaystyle{4}$ το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της
διανυσματικής συνάρτησης $\displaystyle{\overline{R}}$ .

Αναζητούμε την εικόνα $\displaystyle{M'(u+v, 2u-\frac{v}{2})}$ του σημείου $\displaystyle{M(u,v)}$ .
Θα διαπιστώσουμε ότι είναι το ορθογώνιο $\displaystyle{EFZH}$ , με κέντρο την αρχή των αξόνων και με:

$\displaystyle{E(4,3),F(0,5), Z(-4,3), H(0,-5)}$ .

Πράγματι ας αναφερθούμε στο ακόλουθο σχήμα των δύο διαστάσεων:

: Επιφάνεια 1γ.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Έστω ότι είναι:
$\displaystyle{u+v=x, \ \ 2u-\frac{v}{2}=y\ \ (1)}$

Από τις (1) προκύπτει:

$\displaystyle{u=\frac{x+2y}{5}, \ \ v=\frac{4x-2y}{5} \ \ (2)}$

Επειδή όμως:

$\displaystyle{-2\leq u\leq2, \ \ -2\leq v \leq 2 \ \ (3)}$

από την (2) προκύπτουν οι ανισώσεις:

$\displaystyle{-10 \leq x+2y \leq 10, \ \ -10 \leq 4x-2y \leq 10 \ \ (4)}$

Εύκολα τώρα διαπιστώνεται λύνοντας τις τέσσερις αυτές γραμμικές ανισώσεις
ότι το σημείο:

$\displaystyle{M'(x,y) \equiv M'(u+v,2u-\frac{v}{2}) }$

ανήκει στο ορθογώνιο $\displaystyle{EFZH}$ το οποίο ορίζουν οι εξισώσεις που προκύπτουν από την (4).

Αν τώρα ορίσουμε και το σημείο:

$\displaystyle{(u+v,2u-\frac{v}{2}, u^2+v}$

τότε βρήκαμε το αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας.

Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται και τα αντίστοιχα διανύσματα:

: Επιφάνεια 1δ.png (54.26 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Το ακόλουθο αρχείο είναι δυναμικό.

Επιφάνεια 2Α.ggb: (17.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 77 φορές

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#4

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

(Συνέχεια...)

Απάντηση στο πρώτο ερώτημα:

Υπολογίζουμε τα τρία θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης. Δηλαδή:

$\displaystyle{ E=(\frac{\partial x}{\partial u})^2+(\frac{\partial y}{\partial u})^2+(\frac{\partial z}{\partial u})^2=}$

$\displaystyle{=(\frac{\partial (u+v)}{\partial u})^2+(\frac{\partial (2u-\frac{v}{2}}{\partial u})^2+(\frac{\partial (u^2+v)}{\partial u})^2 = }$

$\displaystyle{=1^2+2^2+(2u)^2=4u^2+5 \ \ }$ $\displaystyle{ \Rightarrow E=4u^2+5 \ \ (1)}$

Όμοια είναι:

$\displaystyle{G=(\frac{\partial x}{\partial v})^2+(\frac{\partial y}{\partial v})^2+(\frac{\partial z}{\partial f})^2=1^2+(-\frac{1}{2})^2+1^2=\frac{9}{4} }$

$\displaystyle{\Rightarrow G=\frac{9}{4} \ \ (2)}$

και

$\displaystyle{F=\frac{\partial x }{\partial u}\cdot \frac{ \partial x}{\partial v} +\frac{\partial y }{\partial u}\cdot \frac{ \partial y}{\partial v}+\frac{\partial z }{\partial u}\cdot \frac{ \partial z}{\partial v}= 1\cdot 1+2\cdot (-\frac{1}{2})+2u\cdot 1=2u }$

$\displaystyle{\Rightarrow F=2u \ \ (3) }$

καθόσον είναι:

$\displaystyle{x=u+v, \ \ y=2u-\frac{v}{2}, \ \ z=u^2+v }$

Οι συντεταγμένες του διανύσματος που ορίζει τη δοθείσα επιφάνεια.

: Εμβαδόν επιφάνειας 1.png (52.65 KiB) Προβλήθηκε 1227 φορές

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{l=\sqrt{EG-F^2}=..=\sqrt{5u^2+\frac{45}{4} }$

Άρα το εμβαδόν αυτής είναι:

$\displaystyle{E=\iint_S\sqrt{EG-F^2}dudv=\iint_S\sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}dudv=\int_{-2}^{2}\sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}du \cdot \int_{-2}^{2}dv= ... = 66.8...\ \ (4) }$

Το ολοκλήρωμα υπολογίστηκε ψηφιακά.

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#5

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

(Συνέχεια...)

Για το δεύτερο ερώτημα εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Μήκος τόξου καμπύλης 1.png (62.54 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

Η καμπύλη $\displaystyle{AB}$ , η οποία είναι η τομή της δοθείσης επιφάνειας

με το επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ δίνεται από τη εξίσσωση:

$\displaystyle{y=0}$ δηλαδή: $\displaystyle{v=4u, \ \ -2\leq u \leq 2 \ \ (1)}$

Από το προηγούμενο μήνυμα έχουμε:

$\displaystyle{E=4u^2+5, \ \ G=\frac{9}{4}, \ \ F=2u, \ \ (2)}$

Έτσι το μήκος της καμπύλης $\displaystyle{AB}$ είναι:

$\displaystyle{S_{AB}=\int_{-2}^{2} \sqrt{E+2F(\frac{dv}{du})+G(\frac{dv}{du})^2} du}$

Άρα από τους τύπους (1) και (2) θα είναι:

$\displaystyle{ S_{AB}=\int_{-2}^{2}\sqrt{(4u^2+5)+2\cdot 2u \cdot 4+\frac{9}{4} \cdot 4^2}du =\int _{-2}^{2} \sqrt{4u^2+16u+41} du }$

και τελικά:

$\displaystyle{S_{AB}\approx 26.7}$ (με χρήση λογισμικού)

Κώστας Δόρτσιος

(Συνχίζεται...)

#6

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

Συνέχεια...

Απάντηση στο τρίτο ερώτημα:

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Επιφάνεια 3α.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε το μέρος της αρχικής επιφάνειας που προβάλλεται στο τετράπλευρο $\displaystyle{(MEFN)}$

Θυμίζουμε τον τρόπο σχηματισμού της επιφάνειας από τη διανυσματικής της εξίσωση και συνεπώς το ζητούμενο είναι
να βρούμε το χωρίο στο οποίο αυτό το τμήμα της επιφάνειας ορίζεται.
Θα δείξουμε ότι το χωρίο αυτό είναι το τετράπλευρο $\displaystyle{(BCC_1B_1)}$ .

Πράγματι:
Έστω $\displaystyle{M'(x,y)}$ κινείται στο τετράπλευρο $\displaystyle{(MEFN)}$ .

Οι εξισώσεις των πλευρών αυτού του τετραπλεύρου είναι:

$\displaystyle{\left. \begin{matrix} FE:x+2y-10=0, \\ FN:2x-y+5=0, \\ EM: 2x-y-5=0, \\ MN:y=0 \end{matrix}\right| \ \ (1)}$

Μελετώντας τα πρόσημα των πρωτοβάθμιων παραστάσεων του πίνακα (1) διαπιστώνουμε ότι για να ανήκει
το σημείο $\displaystyle{M'(x,y)}$ στο τετράπλευρο που αυτές ορίζουν θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{\left. \begin{matrix} \ \ x+2y-10 \leq 0, \\ 2x-y+5 \geq 0, \\ 2x-y-5 \leq 0, \\ y \geq 0 \end{matrix}\right| \ \ (2)}$

Επειδή όμως, όντας ότι οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M}$ είναι $\displaystyle{M(u,v)}$ τότε οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M'}$

θα είναι $\displaystyle{(u+v, 2u-\frac{v}{2} ) }$ .

Αν τώρα τις συντεταγμένες αυτές, δηλαδή τις $\displaystyle{(u+v, 2u-\frac{v}{2} ) }$ τις θέσουμε στις ανισώσεις (2) τότε διαπιστώνουμε ότι:

$\displaystyle{u \leq 2 \ \ (3) }$ ,

$\displaystyle{ v\geq -2 \ \ (4) }$

$\displaystyle{ v \leq 2 \ \ (5) }$

$\displaystyle{4u-v \geq 0 \ \ (6) }$

Η σχέση (6) όμως ορίζει ένα τοπίο δεξιά της ευθείας $\displaystyle{(e):4x-y=0 \ \ (7)}$ , όπως φαίνεται
στο ακόλουθο σχήμα:

: Επιφάνεια 3β.png (24.47 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Έτσι λοιπόν βρέθηκε, ότι το τοπίο μέσα στο οποίο πρέπει να κινείται το σημείο $\displaystyle{M(u,v)}$ , για να προκύψει το μέρος
της επιφάνειας που ζητούμε να μετρήσουμε, έναι το τετράπλευρο: $\displaystyle{(BCC_1B_1)}$ .

Στο δυναμικό σχήμα μπορείτε να δείτε τη συμπεριφορά του σημείου $\displaystyle{M'}$ σε σχέση με την κίνηση του σημείου $\displaystyle{M}$

Επιφάνεια 4.ggb: (15.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται....)

#7

grigkost έγραψε: Κυρ Ιαν 19, 2020 10:26 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου με την .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .

Να βρεθεί το μήκος της καμπύλης .

Να βρεθεί το εμβαδόν μιας από τις δυο επιφάνειες στις οποίες διαχωρίζεται η επιφάνεια από την καμπύλη .

(Τελευταίο ....)

Για να βρούμε το εμβαδόν του μέρους της δοθείσης επιφάνειας που προβάλλεται
στο τετράπλευρο $\displaystyle{(MEFN)}$ , θα θεωρήσουμε την γνωστή ολοκλήρωση στο
χωρίο:

$\displaystyle{\Omega =\Omega_1+\Omega_2}$

που εμφανίζεται στο προηγούμενο μήνυμα.

Έτσι είναι:

$\displaystyle{\Omega_1=\left \{(u,v) / \ \ -\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{1}{2}, \ \ -2 \leq v \leq 4u \right \}}$

$\displaystyle{\Omega_2 = \left \{ (u,v)/ \ \ \frac{1}{2} \leq u \leq 2, \ \ -2 \leq v \leq 2 \right \} }$

: Επιφάνεια 4α.png (58.86 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

Επομένως σύμφωνα με τα θεμελιώδη ποσά της επιφάνειας αυτής από προηγούμενο μήνυμα θα είναι:

$\displaystyle{E_1=\iint _{\Omega_1} \sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}dudv=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}du \cdot \int_{-2}^{4u}dv =... =\int_ {-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{5u^2+\frac{45}{4}} \cdot (4u+2) du= ...\simeq 13.66 }$

Επίσης είναι:

$\displaystyle{E_2=\iint_{\Omega_2} \sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}dudv =\int_{\frac{1}{2}}^{2} \sqrt{5u^2+\frac{45}{4}}du \cdot \int_{-2}^{2}dv= \int_{\frac{1}{2}}^{2} 4 \cdot \sqrt {5u^2+\frac{45}{4}}du = ... \simeq 26.58 }$

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E=E_1+E_2 \simeq 40.24}$

Έτσι λοιπόν η καμπύλη στην οποία τέμνεται η αρχική επιφάνεια από το επίπεδο $\displaystyle{y=0}$ δε χωρίζει την επιφάνεια αυτή σε

δύο ισεμβαδικά μέρη.

Κώστας Δόρτσιος

Υ.Γ. Για να ξεκουραστείτε από τα πολλά που ανάφερα σας προσφέρω ένα σχηματάκι στο συνημμένο αρχείο.
Το ονομάζω "ένα χαρτί στον άνεμο"

Ένα φύλλο που πετάει.....ggb: (11.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 38 φορές

Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Re: Εμβαδά επιφανειών & μήκος καμπύλης

Μέλη σε σύνδεση