Μετασχηματισμός Mellin

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x}) \, \mathrm{d}x = \Gamma \left ( \alpha +1 \right ) \beta \left ( \alpha +2 \right )}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler και η $\beta$ η συνάρτηση Dirichlet.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 08, 2020 1:06 pm Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x}) \, \mathrm{d}x = \Gamma \left ( \alpha +1 \right ) \beta \left ( \alpha +2 \right )}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler και η $\beta$ η συνάρτηση Dirichlet.

Το μέλι(Mellin) τι ρόλο παίζει;
Είναι
$\displaystyle \beta (s)\Gamma (s)=\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx$
(τώρα το έμαθα).
Για να συγκλινει το ολοκλήρωμα πρέπει $\alpha>-1$ και μια παραγοντική δίνει

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x})dx =\int_{0}^{\infty} (\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1})' \arctan (e^{-x})dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx =\frac{1}{\alpha +1}\beta (a+2)\Gamma (\alpha +2)=\beta (a+2)\Gamma (\alpha +1)$

Tolaso J Kos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Φεβ 08, 2020 1:43 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 08, 2020 1:06 pm Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x}) \, \mathrm{d}x = \Gamma \left ( \alpha +1 \right ) \beta \left ( \alpha +2 \right )}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler και η $\beta$ η συνάρτηση Dirichlet.
Το μέλι(Mellin) τι ρόλο παίζει;

Δίνουμε και από αυτό και σε πολύ οικονομικές τιμές.

Στο διά ταύτα πρόκειται ουσιαστικά για αυτό εδώ. Πολύ ωραία Σταύρο. Εγώ έδωσα λύση με το Ramanujan's Master Theorem το οποίο - μάλλον για αυτό το ολοκλήρωμα - είναι πολύ βαρύ εργαλείο.

Μετασχηματισμός Mellin

Μετασχηματισμός Mellin

Re: Μετασχηματισμός Mellin

Re: Μετασχηματισμός Mellin

Μέλη σε σύνδεση