Μετασχηματισμός Mellin

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Μετασχηματισμός Mellin

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 08, 2020 1:06 pm



Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3004
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μετασχηματισμός Mellin

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 08, 2020 1:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 08, 2020 1:06 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x}) \, \mathrm{d}x = \Gamma \left ( \alpha +1 \right ) \beta \left ( \alpha +2 \right )}
όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler και η \beta η συνάρτηση Dirichlet.
Το μέλι(Mellin) τι ρόλο παίζει;
Είναι
\displaystyle \beta (s)\Gamma (s)=\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx
(τώρα το έμαθα).
Για να συγκλινει το ολοκλήρωμα πρέπει \alpha>-1 και μια παραγοντική δίνει

\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x})dx =\int_{0}^{\infty} (\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1})' \arctan (e^{-x})dx
\displaystyle =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx =\frac{1}{\alpha +1}\beta (a+2)\Gamma (\alpha +2)=\beta (a+2)\Gamma (\alpha +1)


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μετασχηματισμός Mellin

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 08, 2020 1:46 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Φεβ 08, 2020 1:43 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 08, 2020 1:06 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^\alpha \arctan (e^{-x}) \, \mathrm{d}x = \Gamma \left ( \alpha +1 \right ) \beta \left ( \alpha +2 \right )}
όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler και η \beta η συνάρτηση Dirichlet.
Το μέλι(Mellin) τι ρόλο παίζει;
Δίνουμε και από αυτό και σε πολύ οικονομικές τιμές. :) ;) Στο διά ταύτα πρόκειται ουσιαστικά για αυτό εδώ. Πολύ ωραία Σταύρο. Εγώ έδωσα λύση με το Ramanujan's Master Theorem το οποίο - μάλλον για αυτό το ολοκλήρωμα - είναι πολύ βαρύ εργαλείο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης