Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Φεβ 11, 2020 5:37 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2888
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Φεβ 11, 2020 6:30 pm

Εύκολο...
\begin{aligned} 
\lim_{n\to+\infty}\Big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)^n&=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}n\,\ln\big(e^{\frac{1}{n}}+\tfrac{1}{n}\big)\Big)\\ 
&=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln\big(e^{\frac{1}{n}}+\tfrac{1}{n}\big)}{\frac{1}{n}}\Big)\\  
&\stackrel{\frac{0}{0}\,*}{=}\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+1}{n^2\big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\big)}\,n^2\Big)\\ 
&=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+1}{e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}}\Big)\\ 
&=\exp(2)\\ 
&=e^2\,. 
\end{aligned}

(*) Με την προϋπόθεση ότι θα αιτιολογηθεί σωστά η εφαρμογή του κανόνα L'Hospital.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 11, 2020 7:41 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Φεβ 11, 2020 5:37 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n
Και αλλιώς: Με χρήση σειρών Taylor ο λογάριθμος της παράστασης ισούται

\displaystyle{ n\ln \left (e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right ) = n \ln  \left ( 1 + \frac{1}{n} +O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) + \frac{1}{n}\right  ) =  n \ln  \left ( 1 + \frac{2}{n} +O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) \right  ) =   n  \left (  \frac{2}{n} + O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) \right  ) = }

\displaystyle{= 2+O\left ( \dfrac {1}{n}\right ) \to 2}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 11, 2020 8:39 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Φεβ 11, 2020 5:37 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n
Για να το δούμε μόνο με ακολουθίες.
Από τον ορισμό του
e
εχουμε
\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}< e< (1+\frac{1}{n-1})^{n},n\geq 2
οπότε είναι
\displaystyle 1+\frac{2}{n}< e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}< 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}< 1+\frac{2}{n-1}
Αν την τελευταία την υψώσουμε στην n και πάρουμε όρια βρίσκουμε το ζητούμενο όριο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 11, 2020 10:48 pm

Και αλλιώς: Με χρήση του \displaystyle{(1+1/x)^x \to e} καθώς x\to \infty

\displaystyle{\Big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)^n= e\Big(1+\frac{1}{ne^{\frac{1}{n}}}\Big)^n = e\Big ( \Big(1+\frac{1}{ne^{\frac{1}{n}}}\Big)^{ne^{\frac{1}{n}}}\Big )^{e^{-\frac{1}{n}}}} \to e (e)^{e^0}=e^2 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες