Γινόμενο Ολοκληρωμάτων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 327
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Γινόμενο Ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Φεβ 21, 2020 8:39 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{sinx}dx\ \cdot\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{sinx}}dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο Ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 21, 2020 10:52 pm

mick7 έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 8:39 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{sinx}dx\ \cdot\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{sinx}}dx

Λήμμα: Μία μορφή της συνάρτησης \mathrm{B} είναι η εξής:

\displaystyle{\mathrm{B}\left ( x, y \right ) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \quad , \quad \mathfrak{Re}\left ( x \right )>0 \; , \; \mathfrak{Re}\left ( y \right )>0}
Τότε \displaystyle{2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin \theta} \, \mathrm{d}\theta = \mathrm{B} \left ( \frac{3}{4} , \frac{1}{2} \right )} και \displaystyle{2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin \theta}} = \mathrm{B} \left ( \frac{1}{4} , \frac{1}{2} \right )}. Τώρα, από συμμετρία έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta} \, \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} &=\left ( 2 \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin \theta} \, \mathrm{d} \theta \right ) \left ( 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{\sin \theta}} \right ) \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{\text{\gr Λήμμα}}{=\! =\! =\! =\! =\!} \mathrm{B} \left ( \frac{3}{4} , \frac{1}{2} \right )  \mathrm{B} \left ( \frac{1}{4} , \frac{1}{2} \right )\\  
 &=  \frac{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{4} + \frac{1}{2}  \right )} \cdot \frac{\Gamma \left ( \frac{1}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right )} \\ 
 &= \frac{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{5}{4} \right )} \cdot \frac{\Gamma \left ( \frac{1}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right )} \\ 
 &=\frac{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( 1 + \frac{1}{4} \right )} \cdot \frac{\Gamma \left ( \frac{1}{4} \right ) \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right )} \\ 
 &= \frac{\cancel{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right )} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\frac{1}{4} \cancel{\Gamma \left ( \frac{1}{4} \right )}} \cdot \frac{\cancel{\Gamma \left ( \frac{1}{4} \right )} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )}{\cancel{\Gamma \left ( \frac{3}{4} \right )}} \\ 
 &= \Gamma^2 \left \left( \frac{1}{2} \right) \\ 
 &= \pi   
\end{aligned}}

όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Η τιμή \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) θεωρείται γνωστή.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης