Φράγμα απόλυτης τιμής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Φράγμα απόλυτης τιμής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 22, 2020 6:49 pm

Έστω f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\left | f\left ( \alpha + \beta \right ) - f \left ( \alpha \right ) \right | \leq \frac{\beta}{\alpha}}
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left | f(1) - f(x) \right | \leq \left |\ln x  \right | \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x>0}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Φράγμα απόλυτης τιμής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 22, 2020 8:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 22, 2020 6:49 pm
Έστω f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\left | f\left ( \alpha + \beta \right ) - f \left ( \alpha \right ) \right | \leq \frac{\beta}{\alpha}}
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left | f(1) - f(x) \right | \leq \left |\ln x  \right | \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x>0}
Λίγο γενικότερα, για p>q>0 έχουμε από την τριγωνική ανισότητα και οποιοδήποτε n,

\displaystyle{| f(p)-f(q)| \le \sum _{k=1}^n \left | f\left ( q+ \frac {k(p-q)}{n}\right ) -f\left ( q+ \frac {(k-1)(p-q)}{n}\right )   \right |\le \sum _{k=1}^n\dfrac { \dfrac {p-q}{n}}{q+ \dfrac {(k-1)(p-q)}{n}}}

\displaystyle{\to \int _q^p\dfrac {1}{t}dt = \ln \dfrac {p}{q}} (ως όριο αθροίσματος Riemann)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης