Ολοκλήρωμα

#1

Να αποδεχθεί ότι : $\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2}\,\,}dx=4\sqrt{2}-\pi -2$

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 07, 2020 9:49 pm
Να αποδεχθεί ότι : $\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2}\,\,}dx=4\sqrt{2}-\pi -2$

Ξεκινάμε με τη βασική σχέση:

$\displaystyle{\left ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right )^2 = 2\left ( 1+ \sqrt{1-x^2} \right )}$
οπότε το ολοκλήρωμά μας γράφεται ως:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} + 2} &= \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\left (1+\sqrt{1-x^2} \right )}+2} \\ &\!\!\!\!\!\overset{x = \sin u}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos u}{\sqrt{2\left ( 1+\cos u \right )}+2}\, \mathrm{d}u\\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos u}{\sqrt{4 \cos^2 \frac{u}{2}}+2} \, \mathrm{d}u \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos u}{2 \cos \frac{u}{2} + 2} \, \mathrm{d} u \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos u}{1+ \cos \frac{u}{2}} \, \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos u}{\cos^2 \frac{u}{4}} \, \mathrm{d}u \\ &= \cancelto{0}{\frac{1}{4} \left [ 4 \tan \frac{u}{4} \cos u \right ]_{-\pi/2}^{\pi/2}} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \tan \frac{u}{4} \sin u \, \mathrm{d}u \end{aligned}}$
Φτάνουμε λοιπόν έτσι σε κάτι πιο απλό το οποίο είναι αρκετά αντιμετωπίσιμο !

Για παράδειγμα:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \tan \frac{u}{4} \sin u \, \mathrm{d}u &\overset{y=u/4}{=\! =\! =\! =\!} 4 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \tan y \sin 4y \, \mathrm{d}y\\ &=4 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \tan y \left ( 4 \sin y \cos^3 y - 4 \sin^3 y \cos y \right )\, \mathrm{d}y \\ &=4 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \left ( 4 \sin^2 y \cos^2 y - 4 \sin^4 y \right )\, \mathrm{d}y \\ &= 16 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \left ( \sin y \cos y \right )^2 \, \mathrm{d} y - 16 \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \sin^4 y \, \mathrm{d}y \\ &= \left (\frac{\pi}{2} - 1 \right ) + \left (-1 + 4 \sqrt{2} - \frac{3\pi}{2} \right ) \\ &= 4\sqrt{2} - \pi - 2 \end{aligned}}$
διότι

$\displaystyle{\sin^4 x = \frac{1}{8} \left ( 3 + \cos 4x - 4 \cos 2x \right )}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x &= \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \left ( \sin x \cos x \right )^2 \, \mathrm{d} x\\ &=\int_{-\pi/8}^{\pi/8} \left ( \frac{\sin 2x}{2} \right )^2 \, \mathrm{d}x\\ &= \frac{1}{4} \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \sin^2 2x \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{8}\int_{-\pi/8}^{\pi/8} \left ( 1- \cos 4x \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{8} \left ( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right ) \\ &= \frac{\pi}{32} - \frac{1}{16} \end{aligned}}$

BAGGP93 · #3

Γεια χαρά σε όλους. Άλλη μια ιδέα είναι η ακόλουθη. Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια στο $\displaystyle{\left[-1,1\right]}$ αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2}\,\mathrm{d}x}$

Με αντικατάσταση $\displaystyle{x=\cos\,(2\,t)\,t\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$ βρίσκουμε $\displaystyle{\mathrm{d}x=-2\,\sin\,(2\,t)\,\mathrm{d}t$ και επιπλέον,

$\displaystyle{1+x=1+\cos\,(2\,t)=2\,cos^2\,t\,\,,1-x=1-\cos(2\,t)=2\,\sin^2\,t}$ οπότε έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} I&=\int_{\pi/4}^{0}\dfrac{4\,\sin\,(2\,t)}{\,\sqrt{2}\,\cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2}\,\mathrm{d}t\\&=2\,\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{2\,\sin\,(2\,t)}{\sqrt{2}\,\cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2}\,\mathrm{d}t\\&=2\,\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{(\sqrt{2}\,cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2)^2-4\,(\sqrt{2}\,\cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2)+2}{\sqrt{2}\,\cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2}\\&=2\,\int_{0}^{\pi/4}\left(\sqrt{2}\,\cos\,t+\sqrt{2}\,\sin\,t+2)\right)\,\mathrm{d}t-8\,\int_{0}^{\pi/4}\,\mathrm{d}t+\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{4}{2\,\cos\,\left(t-\dfrac{\pi}{4}\right)+2}\,\mathrm{d}t\\&=2\,\left[\sqrt{2}\,\sin\,t-\sqrt{2}\,\cos\,t+2\,t\right]_{0}^{\pi/4}-8\,\dfrac{\pi}{4}+2\,\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{1}{2\,\cos^2\,\left(\dfrac{t}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)}\,\mathrm{d}t\\&=\pi-2\,\pi+2\,\sqrt{2}+2\,\left[\tan\,\left(\dfrac{t}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)\right]_{0}^{\pi/4}\\&=2\,\sqrt{2}-\pi+2\,\tan\,\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\,\,(1)\end{aligned}$

όπου από τη γνωστή σχέση $\displaystyle{\tan\,(2\,x)=\dfrac{2\,\tan\,x}{1-\tan^2\,x}}$ έχουμε για $\displaystyle{x=\dfrac{\pi}{8}$ ότι
$\displaystyle{\tan^2\,\dfrac{\pi}{8}+2\,\tan\,\dfrac{\pi}{8}-1=0}$ και με διακρίνουσα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\tan\,\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$

Τελικά, από σχέση $\displaystyle{(1)}$ παίρνουμε $\displaystyle{I=2\,\sqrt{2}-\pi+2\,\sqrt{2}-2=4\,\sqrt{2}-\pi-2}$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση