Άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Μαρ 10, 2020 12:52 am

Να δειχθεί ότι:
\frac{1}{3}+\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{3 \cdot 7 \cdot 47} + \frac{1}{3 \cdot 7 \cdot 2207} + \cdots = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
όπου κάθε καινούργιος όρος στον παρανομαστή προκύπτει από το τετράγωνο του προηγούμενου αφαιρώντας δύο.
Δηλαδή:
y_{1} = 3 \quad , \quad y_{n+1} = y^2_{n}-2 , \forall n \in \mathbb{N}
Τότε η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται :
\sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{y_{k}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μαρ 10, 2020 8:48 am

Ένα πρώτο βήμα: Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι

y_n=\big(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\big)^{2^{n-1}}+\big(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\big)^{-2^{n-1}}\,,\quad n\in\mathbb{N}\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μαρ 10, 2020 9:43 am

..ή αλλιώς.

Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι

y_{n}^2-4=y_1^2\,y_2^2\cdots y_{n-1}^2(y_1^2-4)\,,\quad n\geqslant2\,.
Έτσι

\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{y_n}{y_1\,y_2\cdots y_{n-1}}=\sqrt{y_1^2-4}\quad(\star)\,.
Επίσης

\displaystyle\frac{1}{y_1\,y_2\cdots y_{n}}=\frac{1}{2}\Big(\frac{y_n}{y_1\,y_2\cdots y_{n-1}}-\frac{y_{n+1}}{y_1\,y_2\cdots y_{n}}\Big)\,,\quad n\geqslant2\,.
Επομένως

\begin{aligned} 
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\textstyle\prod_{k=1}^{n}y_k}&\stackrel{(\star)}{=}\frac{1}{y_1}+\frac{y_2}{2y_1}-\frac{1}{2}\sqrt{y_1^2-4}\\ 
&=\frac{y_1-\sqrt{y_1^2-4}}{2}\\ 
&\stackrel{y_1=3}{=\!=}\frac{3-\sqrt{5}}{2}\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 10, 2020 10:31 am

grigkost έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 9:43 am
..ή αλλιώς.

Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι

y_{n}^2-4=y_1^2\,y_2^2\cdots y_{n-1}^2(y_1^2-4)\,,\quad n\geqslant2\,.

Με αφορμή αυτό , θεωρούμε την ακολουθία \displaystyle{b_n=\frac{a_n-\sqrt{a_n^2-4}}{2}}. Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned}  
b_{n+1}&=\frac{a_{n+1}-\sqrt{a_{n+1}^2-4}}{2} \\  
&=\frac{a_{n}^2-2-\sqrt{(a_{n}^2-2)^2-4}}{2} \\ 
 &=\frac{a_{n} \left(a_n-\sqrt{a_n^2-4} \right)-2}{2} \\  
&=a_nb_{n}-1  
\end{aligned}}
δηλ. \displaystyle{b_n=\frac{1}{a_n}+\frac{b_{n+1}}{a_n}} και τελικά:

\displaystyle{\begin{aligned}  
b_1 &= \frac{1}{a_1} + \frac{b_2}{a_1} \\  
& = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_1} \left ( \frac{1}{a_2} + \frac{b_3}{a_2} \right ) \\  
& = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_1 a_2} \left ( \frac{1}{a_3} + \frac{b_4}{a_3} \right ) \\  
&= \cdots  
\end{aligned}}
το οποίο είναι το αποτέλεσμα.


Το θέμα έχει εξαιρετικές προεκτάσεις , αλλά , δυστυχώς αυτή τη στιγμή αδυνατώ να τις δώσω. Θέτω όμως σαν άσκηση τη παρακάτω:


Με τις ίδιες συνθήκες , δηλ. a_1=3 και a_{n+1}=a_n^2 -2 για κάθε n \geq 2 να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( a_1 a_2 a_3 \dots a_n \right)^{\frac{1}{2^{n}}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης