Κυρτή Ανάλυση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 24, 2015 12:38 am

Κυρτή Ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 1:23 am

Να αποδειχθεί οτι

\text{conv} \Bigg{(} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\} \Bigg{)}=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυρτή Ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μαρ 18, 2020 1:55 am

Αρχικά είναι εύκολο να δείξουμε ότι το δεύτερο σύνολο είναι κυρτό.
Αυτό γιατί αν |x_i| \leq 1 και |y_i| \leq 1 τότε |tx_i + (1-t) y_i|\leq 1.
Τώρα αν πάρουμε ένα κυρτό σύνολο C που περιέχει το πρώτο σύνολο, τότε αν πάρουμε x=(x_1,..,x_d) με |x_i| \leq 1 για κάθε i έχουμε x_i = t a_i + (1-t) b_i, όπου |a_i|=|b_i|=1 επειδή το σύνολο [-1,1] είναι διάστημα.
Άρα το C περιέχει το δεύτερο σύνολο και το συμπέρασμα έπεται.

POST EDITED
Υπάρχει λάθος στην λύση μου αφού το t εξαρτάται από το i στο τέλος της απόδειξης.
Ευχαριστώ τον Σ.Παπαδόπουλο για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Σάβ Μαρ 21, 2020 7:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 322
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Μαρ 18, 2020 2:14 am

Με επαγωγή στο d νομίζω είναι απλό να δείξουμε ότι το πρώτο περιέχει το δεύτερο:
Απλώς προβάλλουμε σε κάθε διάσταση ξεχωριστά (αρκεί να επιλέξουμε 2) και η κυρτότητα διατηρείται.
Το αντίστροφο δεν έχει και ιδιαίτερο ενδιαφέρον-προκύπτει εξ'ορισμού της κυρτής θήκης.
τελευταία επεξεργασία από min## σε Τετ Μαρ 18, 2020 12:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή Ανάλυση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 10:07 am

ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 1:23 am
Να αποδειχθεί οτι

\text{conv} \Bigg{(} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\} \Bigg{)}=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}
Μπορούμε να το πάρουμε άμεσα χρησιμοποιώντας το βαρύ:

Αν K συμπαγές κυρτό υποσύνολο του \mathbb{R}^{n}
τότε K=conv(ext(K))
(ext(K) είναι τα ακραία σημεία του K)

Εδω
K=\Big\{ x \in \mathbb{R}^d:|x_i|\leq1 \, , \, \forall i \in\{1,...,d\}\Bigr\}
οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
ext(K)={} \Bigl\{x\in\mathbb{R}^d:|x_i|=1 \,\,, \, \forall i \in \{1,...,d\} \bigg{}} \Bigr\}


ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 24, 2015 12:38 am

Re: Κυρτή Ανάλυση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΚΟΥΜΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 5:27 pm

min## έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 2:14 am
Με επαγωγή στο d νομίζω είναι απλό να δείξουμε ότι το πρώτο περιέχει το δεύτερο:
Απλώς προβάλλουμε σε κάθε διάσταση ξεχωριστά (αρκεί να επιλέξουμε 2) και η κυρτότητα διατηρείται.
Το αντίστροφο δεν έχει και ιδιαίτερο ενδιαφέρον-προκύπτει εξ'ορισμού της κυρτής θήκης.
Ευχαριστώ για την απάντηση. Θα μπορούσατε να την γράψετε λίγο πιο αναλυτικά γιατί δε βγάζω άκρη, ευχαριστώ εκ των προτέρων


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 322
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Μαρ 18, 2020 7:23 pm

Έστω (a_{1},a_{2},..a_{n}) ένα σημείο με \left | a_{i} \right | \leq 1 \forall i.
Έστω S=\left \{ \pm 1 \right \}^{n} το σύνολο των σημείων του αριστερού μέλους.
Θεωρούμε τα σημεία A_{1}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},1),A_{2}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},-1).
Από επαγωγική υπόθεση μπορούμε να γράψουμε A_{1}=\sum u_{i}\lambda _{i} με u_{i} στοιχεία του S με τελευταία συντεταγμένη 1 και \lambda _{i}\geq 0,\sum  \lambda _{i}= 1 (κυρτός συνδυασμός/αγνοούμε την τελευταία συντεταγμένη).
Ομοίως και A_{2}=\sum u_{i}'\lambda _{i}' (εδώ τα u'_{i} έχουν τελευταία συντεταγμένη -1).
Η κυρτή θήκη των A_{1},A_{2} είναι το σύνολο \left \{ A_{1}t+A_{2}(1-t),t\in [0,1] \right \}.Βλέποντας την τελευταία μόνο συντεταγμένη (οι άλλες μένουν απείραχτες) αρκεί να βρούμε t\in [0,1] ώστε 2t-1=a_{n} το οποίο γίνεται επειδή a_{n}\in [-1,1] από υπόθεση.
Οπότε έχουμε τον κυρτό συνδυασμό που θέμε:(a_{1},..a_{n})=\sum u_{i}\lambda _{i}t+\sum u'_{i}\lambda' _{i}(1-t).
Άρα το LHS της αρχικής περιέχει το RHS.
Το RHS είναι όμως κυρτό (απλό) και περιέχει όλα τα σημεία του LHS,δηλαδή εξ'ορισμού και την κυρτή τους θήκη κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες