Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Μαρ 21, 2020 2:10 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (x lnx)^{2020}dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 21, 2020 2:53 pm

Μία προσπάθεια ...

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \left ( x \ln x \right )^{2020}\, \mathrm{d}x &= \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2020} \int_{0}^{1} \left ( x^{2020} \left ( x^{1/n} -1 \right )^{2020} \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{u=x^{1/n}}{=\! =\! =\! =\!} \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2021} \int_{0}^{1} u^{2021n-1} \left ( 1-u \right )^{2020} \, \mathrm{d}u  \\  
 &=\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2021} \int_{0}^{1} u^{2021n-1} \left ( 1-u \right )^{2021-1} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2021} \mathrm{B} \left ( 2021n, 2021 \right ) \\  
 &=\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2021} \; \frac{\Gamma \left ( 2021 n \right ) \Gamma \left ( 2021 \right )}{\Gamma \left ( 2021 n + 2021 \right )} \\ 
 &= \Gamma \left ( 2021 \right ) \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{2021} \frac{\Gamma \left ( 2021 n \right )}{\Gamma \left ( 2021 n + 2021 \right )} 
\end{aligned}}
Όμως από την ανισότητα Gautschi έπεται ότι:

\displaystyle{n^{2021}\left ( 2021n -1 \right )^{1-2022}<\frac{ n^{2021} \Gamma\left ( 2021n -1 + 1 \right )}{\Gamma\left ( 2021n-1 + 2022 \right )}< n^{2021}\left ( 2021n\right )^{1-2022}}
και από κριτήριο παρεμβολής το ολοκλήρωμα κάνει \displaystyle{\frac{\Gamma\left ( 2021 \right )}{2021^{2021}}}.

:clap2: :clap2: :clap2:


Το Wolfram δίδει απάντηση 0, αλλά πολύ αμφιβάλω αν όντως κάνει τόσο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 21, 2020 6:01 pm

mick7 έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:10 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (x lnx)^{2020}dx
H απάντηση του Τόλη είναι σωστή. Το κάνω με άλλο τρόπο βρίσκοντας γενικότερα το \displaystyle{I(n,m) = \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m}dx}.

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε

\displaystyle{I(n,m) = \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m}dx   = \left [\dfrac {x^{n+1}}{n+1} (\ln x) ^m \right ]_0^1-   \int_{0}^{1} \dfrac {x^{n+1}}{n+1} } \dfrac{m (\ln x) ^{m-1}} {x}   dx = }

\displaystyle{= 0 - \dfrac {m}{n+1}\int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m-1}dx =  - \dfrac {m}{n+1}I(n,m-1)}

Άρα αναδρομικά

\displaystyle{I(n,m)= (-1)^{m -1}\dfrac {m(m-1)\cdot ...\cdot 2}{(n+1)^{m-1}}I(n,1)= (-1)^{m-1} \dfrac {m(m-1)\cdot...\cdot 2}{(n+1)^{m-1}} \int_{0}^{1} x^n \ln xdx= (-1)^{m} \dfrac {m!}{(n+1)^{m+1}}}.

Για m=n=2020 έχουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 21, 2020 6:22 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 6:01 pm
mick7 έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:10 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (x lnx)^{2020}dx
H απάντηση του Τόλη είναι σωστή.

Ευτυχώς , γιατί μία αμφιβολία την είχα. Όχι τίποτα άλλο , αν ήταν λάθος θα κατέρρεε όλη η τεχνική με το όριο του λογαρίθμου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 21, 2020 6:52 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:53 pm
Το Wolfram δίδει απάντηση 0, αλλά πολύ αμφιβάλω αν όντως κάνει τόσο.
Προφανώς δεν είναι σωστό αφού το ολοκλήρωμα είναι σίγουρα θετικό. (Ολοκλήρωμα συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.)

Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η τελική απάντηση είναι πολύ μικρή (δείτε τον ασυμπτωτικό υπολογισμό πιο κάτω) γι' αυτό αν δεν είμαστε προσεκτικοί μπορεί να μην πάρουμε τη σωστή απάντηση από το υπολογιστικό πακέτο. (Π.χ. αν προσπαθήσει να προσεγγίσει αντί να υπολογίσει ακριβώς το ολοκλήρωμα.)

\displaystyle  \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \sim \frac{\sqrt{2\pi n} n^n}{e^n(n+1)^{n+1}} \sim \frac{\sqrt{2\pi}}{e^n \sqrt{n} (1 + \frac{1}{n})^n} \sim \frac{\sqrt{2\pi}}{e^{n+1} \sqrt{n}}

Το sagemath το υπολογίζει σωστά με τον πιο κάτω κώδικα. (Δείτε π.χ. και εδώ.) Είμαι σίγουρος ότι με το σωστό κώδικα. και το mathematica μπορεί να το υπολογίσει σωστά.

Κώδικας: Επιλογή όλων

var('n,m')
assume(n>0)
assume(m>0)
assume(n,'integer')
assume(m,'integer')
show(integral(((x^n)*log(x)^m),x,0,1))


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Μαρ 21, 2020 9:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 6:01 pm
mick7 έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:10 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (x lnx)^{2020}dx
H απάντηση του Τόλη είναι σωστή. Το κάνω με άλλο τρόπο βρίσκοντας γενικότερα το \displaystyle{I(n,m) = \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m}dx}.

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε

\displaystyle{I(n,m) = \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m}dx   = \left [\dfrac {x^{n+1}}{n+1} (\ln x) ^m \right ]_0^1-   \int_{0}^{1} \dfrac {x^{n+1}}{n+1} } \dfrac{m (\ln x) ^{m-1}} {x}   dx = }

\displaystyle{= 0 - \dfrac {m}{n+1}\int_{0}^{1} x^n (\ln x)^{m-1}dx =  - \dfrac {m}{n+1}I(n,m-1)}

Άρα αναδρομικά

\displaystyle{I(n,m)= (-1)^{m -1}\dfrac {m(m-1)\cdot ...\cdot 2}{(n+1)^{m-1}}I(n,1)= (-1)^{m-1} \dfrac {m(m-1)\cdot...\cdot 2}{(n+1)^{m-1}} \int_{0}^{1} x^n \ln xdx= (-1)^{m} \dfrac {m!}{(n+1)^{m+1}}}.
Πολύ ενδιαφέρον!
Έχει τεθεί, με βοηθητικά ερωτήματα, σε εξετάσεις STEP (για το Cambridge)...


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 21, 2020 10:16 pm

Η πρώτη σκέψη που έκανα ήταν η τεχνική DUTIS ( παραγώγιση κάτω από το ολοκλήρωμα ) αλλά γρήγορα την απέρριψα. Μετά το ποστ του κ. Μιχάλη βλέπω ότι μία χαρά εφαρμόζεται. ... Πάμε να τη δούμε.


Έστω συνάρτηση f(\alpha) = \int_0^1 t^\alpha \, \mathrm{d}t. Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\begin{matrix} 
f (\alpha) & =  &\displaystyle \int_{0}^{1} t^\alpha \, \mathrm{d}t  & = &\displaystyle \frac{1}{\alpha+1} \\\\ 
\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha} f(\alpha) &  = & \displaystyle  \int_{0}^{1} \frac{\partial }{\partial \alpha} t^\alpha \, \mathrm{d}t &  = & \displaystyle \int_{0}^{1} t^\alpha \ln t \, \mathrm{d}t & = & \displaystyle - \frac{1}{\left ( \alpha +1 \right )^2} \\\\  
\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} f (\alpha) & =  &\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\partial^2 }{\partial \alpha^2} t^\alpha \, \mathrm{d}t  & = &\displaystyle \int_{0}^{1} t^\alpha \ln^2 t \, \mathrm{d}t & = & \displaystyle \frac{2}{\left ( \alpha +1 \right )^3} \\\\ 
\vdots  & \vdots  & \ddots  &  \ddots & \vdots \\\\ 
\displaystyle \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d} x^m} f (\alpha) & =  &\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\partial^m }{\partial \alpha^m} t^\alpha \, \mathrm{d}t  & = &\displaystyle \int_{0}^{1} t^\alpha \ln^m t \, \mathrm{d}t & = & \displaystyle \frac{(-1)^m m!}{\left ( \alpha +1 \right )^{m+1}} 
\end{matrix}}
Αποδεικνύουμε τη τελευταία ισότητα με επαγωγή, δηλ. την ισότητα \displaystyle{\int_{0}^{1} t^\alpha \ln^m t \, \mathrm{d}t = \frac{(-1)^m m!}{\left ( \alpha +1 \right )^{m+1}}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 21, 2020 10:17 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 6:52 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 2:53 pm
Το Wolfram δίδει απάντηση 0, αλλά πολύ αμφιβάλω αν όντως κάνει τόσο.
Προφανώς δεν είναι σωστό αφού το ολοκλήρωμα είναι σίγουρα θετικό. (Ολοκλήρωμα συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.)

Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η τελική απάντηση είναι πολύ μικρή (δείτε τον ασυμπτωτικό υπολογισμό πιο κάτω) γι' αυτό αν δεν είμαστε προσεκτικοί μπορεί να μην πάρουμε τη σωστή απάντηση από το υπολογιστικό πακέτο. (Π.χ. αν προσπαθήσει να προσεγγίσει αντί να υπολογίσει ακριβώς το ολοκλήρωμα.)

\displaystyle  \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \sim \frac{\sqrt{2\pi n} n^n}{e^n(n+1)^{n+1}} \sim \frac{\sqrt{2\pi}}{e^n \sqrt{n} (1 + \frac{1}{n})^n} \sim \frac{\sqrt{2\pi}}{e^{n+1} \sqrt{n}}

Γεια σου Δημήτρη. Υποθέτω αυτός είναι και ο λόγος που το Wolfram πετάει 0. Βεβαία , αργεί να το βγάλει το αποτέλεσμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 21, 2020 10:44 pm

Ναι Τόλη, αυτός είναι ο λόγος. Ψάχνοντας το λίγο βρήκα και τη σωστή εντολή. Με τον πιο κάτω κώδικα θα μας δώσει την απάντηση σε 890 δεκαδικά ψηφία. Το 890 το επέλεξα γνωρίζοντας πως η τελική απάντηση είναι περίπου 10^{-879} και είπα να έχω καμιά δεκαριά ακόμη ψηφία.

Κώδικας: Επιλογή όλων

N[Integrate[(x*ln(x))^2020,{x,0,1}],{oo,890}]
Το ενδιαφέρον είναι πως δίνει "Computational Result: 0" και "Decimal Approximation: 1.08937337979 \times 10^{-879}"


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 21, 2020 11:23 pm



Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης