Άσκηση μιγαδική ανάλυση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Άσκηση μιγαδική ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Σάβ Μαρ 28, 2020 3:37 am

Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω  z_k , k=0,1,2....,n-1 οι νιοστές ρίζες της μονάδας  z^{n-1}=1
Να αποδείξετε ότι :

1) Τα ορίσματα των  z_k , k=0,1,2....,n-1 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
2) Οι  z_k ,  k=0,1,2....,n-1 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3)  z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0

4)  z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}
5)  (1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n
τελευταία επεξεργασία από i_am_imbact σε Σάβ Μαρ 28, 2020 4:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 28, 2020 4:22 am

i_am_imbact έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:37 am
Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω  z_k , k=0,1,2....,n-1 οι νιοστές ρίζες της μονάδας  z^{n-1}=1
Να αποδείξεται ότι :

1) Τα ορίσματα των  z_k , k=0,1,2....,n-1 αποτελόυν διαδοχικόυς όρους αριθμιτικής προόδου.
2) Οι  z_k ,  k=0,1,2....,n-1 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3)  z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0

4)  z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}
5)  (1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n
Καλημέρα. Το κείμενό σου έχει αρκετά λάθη ως προς τη σύνταξη , την ορθογραφία αλλά και τα μαθηματικά σύμβολα. Καλό είναι να τα διορθώσεις. Σου δίνω μια υπόδειξη μόνο γιατί είναι εύκολη.

z^n-1=(z-1)(z-z_1)...(z-z_{n-1}) αλλά επίσης z^n-1=....


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 28, 2020 8:27 am

i_am_imbact έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:37 am
Καλησπέρα σας.
Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση.
Η άσκηση είναι η εξής
Έστω  z_k , k=0,1,2....,n-1 οι νιοστές ρίζες της μονάδας  z^{n-1}=1
Να αποδείξετε ότι :

1) Τα ορίσματα των  z_k , k=0,1,2....,n-1 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
2) Οι  z_k ,  k=0,1,2....,n-1 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.
3)  z_0 + z_1 + ….. + z_{n-1} = 0

4)  z_{0}z_{1}.....z_{n-1}= {-1}^{n-1}
5)  (1- z_{1})(1-z_{2})...…(1-z_{n-1})=n
Ίσως δεν μπορείς να λύσεις την άσκηση επειδή στην εκφώνηση γράφεις  z^{n-1}=1 αντί του σωστού  z^{n}=1 .

Για ξαναδές το τώρα, με αυτή την οπτική. Τα ερωτήματα 1) έως 4) είναι ιδιαίτερα απλά. Για τα 3) και 4) μάλιστα μπορούν να γίνουν με δύο τρόπους. Ο ένας είναι ο προφανής αφού γράψεις τις τιμές των z_k και ο άλλος είναι με τύπους Vieta.

Περιμένουμε εδώ να δούμε την λύση σου.


i_am_imbact
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από i_am_imbact » Σάβ Μαρ 28, 2020 3:36 pm

Καλησπέρα σας,
 z^n -1 =(z-1)(1+z+z^2 +\cdots+ z^{n-1})\Rightarrow\displaystyle  \frac{z^n-1}{z-1} = (1+z +z^2 +\cdots+ z^{n-1})
και από την εξίσωση  z^n-1 = (z-1)(z-z_1)\cdots(z-z_{n-1}) καταλήγουμε ότι \displaystyle  \frac{z^n-1}{z-1} = (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})

τελικά  (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1}) = (1+z+z^2 +\cdots+ z^{n-1}) και για  z=1 καταλήγουμε εκεί που θέλουμε


Επιπλέον άλλο ένα ερώτημα είναι το εξής :
ζητάει να αποδείξουμε ότι  (z_{k}z_{l})=1,\forall k,l \in [0,1,2\cdots, n-1] το οποίο δεν ισχύει για κάθε k,l έτσι νομίζω γιατί πήρα δυο διαφορετικές ρίζες έκανα τις πράξεις και βρήκα άλλο αποτέλεσμα
Ευχαριστώ πολύ


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση μιγαδική ανάλυση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 28, 2020 4:56 pm

i_am_imbact έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:36 pm

Επιπλέον άλλο ένα ερώτημα είναι το εξής :
ζητάει να αποδείξουμε ότι  (z_{k}z_{l})=1,\forall k,l \in [0,1,2\cdots, n-1] το οποίο δεν ισχύει για κάθε k,l έτσι νομίζω γιατί πήρα δυο διαφορετικές ρίζες έκανα τις πράξεις και βρήκα άλλο αποτέλεσμα
Ευχαριστώ πολύ
Βρες τη σχέση των δεικτών k,l ώστε να γίνει σωστή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες