Ολοκλήρωμα τύπου Poisson

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα τύπου Poisson

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 12, 2020 10:03 am

Έχουμε δει παλιότερα αυτό το ολοκλήρωμα. Καλείστε να δείξετε ότι:

\displaystyle{\bigintsss_0^1 \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1+2x\cos a+x^2}{ 1-2x \cos a+x^2 } \right) \, \mathrm{d}x =\frac{\pi^2}{2}-\pi \left| a \right| \quad , \quad a \in [-\pi, \pi]}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα τύπου Poisson

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 24, 2020 11:01 pm

Επαναφορά. Υποδείξεις:

1. Ισχύει ότι: \displaystyle{\ln \left ( 1 - 2x \cos a + x^2 \right ) = -2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n \cos na}{n}}.


2. Ισχύει ότι: \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi-x}{2} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} -\frac{\pi x}{2} + \frac{x^2}{4}}.


3. Ισχύει ότι: \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin nx}{n} = - \frac{x}{2} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos nx}{n^2} = \frac{x^2}{4} - \frac{\pi^2}{12}}


Είναι ότι χρειάζεται για να το αποδείξετε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα τύπου Poisson

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μάιος 01, 2020 11:59 am

Για a \in [0, \pi] έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} \ln \left ( \frac{1+2x \cos a + x^2}{1-2x \cos a + x^2} \right ) &= \ln \left ( 1 + 2x \cos a + x^2 \right ) - \ln \left ( 1 - 2x \cos a + x^2 \right ) \\  
&=-2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-x)^n \cos na}{n} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n \cos na}{n} \\  
&= -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( (-x)^n - x^n \right ) \cos na}{n} \\  
&= 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1} \cos (2n+1)a}{2n+1}  
\end{aligned}}
διότι (-x)^n - x^n = 0 όταν ο n είναι άρτιος. Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1+2x\cos a+x^2}{ 1-2x \cos a+x^2 } \right) \, \mathrm{d}x &= 4\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1} \cos (2n+1)a}{2n+1} \, \mathrm{d}x \\  
&=4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(2n+1)a}{2n+1} \int_{0}^{1} x^{2n} \, \mathrm{d}x \\  
&=4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (2n+1)a}{(2n+1)^2}  
\end{aligned}}
Το παραπάνω δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνάρτηση \chi_2 του Legendre. Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (2n+1)a}{(2n+1)^2} & = \mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{i(2n+1)a}}{(2n+1)^2} \right ) \\  
&=\frac{1}{2}\mathfrak{Re} \left ( \mathrm{Li}_2 \left ( e^{ia} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( - e^{ia} \right ) \right )  
\end{aligned}}
Το πραγματικό μέρος του \mathrm{Li}_2(e^{ix}) είναι η υπόδειξη 2 ενώ το πραγματικό μέρος του \mathrm{Li}_2(-e^{ix}) είναι η υπόδειξη 3. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 4\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (2n+1)a}{\left ( 2n+1 \right )^2} &= 2 \left ( \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi a}{2} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} + \frac{\pi^2}{12} \right ) \\  
&=\frac{\pi^2}{2} - \pi a  
\end{aligned}}
Επειδή το αριστερό μέρος είναι άρτιο , μπορούμε να επεκτείνουμε το αποτέλεσμα για a \in [-\pi, 0]. Συνεπώς,

\displaystyle{\bigintsss_0^1 \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1+2x\cos a+x^2}{ 1-2x \cos a+x^2 } \right) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{2} - \pi \left| a \right|}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης