Όριο με ουρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο με ουρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 14, 2020 1:15 pm

Με αφορμή αυτό το θέμα. Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow  +\infty} n\left( \zeta(2)  - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}  \right)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με ουρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 14, 2020 4:18 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μάιος 14, 2020 1:15 pm
Με αφορμή αυτό το θέμα. Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow  +\infty} n\left( \zeta(2)  - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}  \right)}
Θα δώσω λύση χωρίς ολοκληρώματα.
Αυτή η άσκηση θα μπορούσε να ήταν άσκηση ΣΤ Γυμνασίου γύρω στο 1970.
Σειρές υπήρχαν .Ολοκληρώματα δεν υπήρχαν.
(αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος παλιός)

Είναι
\displaystyle \zeta(2) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=n+1}^{\infty } \frac{1}{k^2}
Επειδή
\displaystyle \frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{k^{2}(k+1)}
εχουμε
\displaystyle \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}+\sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}(k+1)}=\frac{1}{n+1}+\sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}(k+1)}

Αρα είναι

\displaystyle n(\zeta(2) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2})=1-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{n}{k^{2}(k+1)}


Είναι
\displaystyle 0<\sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{n}{k^{2}(k+1)}< \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}
επειδή
\displaystyle \sum_{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}\rightarrow 0
και
\displaystyle \frac{1}{n+1}\rightarrow 0

παίρνουμε l=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες