Σελίδα 1 από 1

Σειρά με ουρά

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 14, 2020 1:18 pm
από Tolaso J Kos
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left( \zeta(2)-\sum_{k=1}^{n} \frac1{k ^2} \right)^2 = 3 \zeta(3) -\zeta^2(2) }
όπου \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Όλα τα components που χρειάζονται τα χουμε δει σε παλιότερα θέματα.

Από δω έχουμε ότι \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \psi^{(1)} (n) \right )^2 = 3\zeta(3)}

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^\infty \left( \zeta(2)-\sum_{k=1}^{n} \frac1{k ^2} \right)^2 &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \psi^{(1)} \left ( 1+n \right ) \right )^2 \\  
 &=\sum_{n=2}^{\infty} \left ( \psi^{(1)}(n) \right )^2 \\  
 &=\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \psi^{(1)} (n) \right )^2 - \left (\psi^{(1)}(1)  \right )^2 \\  
 &=3 \zeta(3) - \zeta^2 (2)  
\end{aligned}}