Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ManolisFysikos
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 04, 2020 2:29 pm

Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ManolisFysikos » Πέμ Ιουν 04, 2020 2:38 pm

Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα \displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} όπου \mathbf{F} = \left<0,-z,y\right> και το S είναι το κομμάτι της μοναδιαίας σφαίρας του στο πρώτο ογδοοκύκλιο με εξωτερικό προσανατολισμό.

Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής:
1) Πώς παραμετροποιώ την σφαίρα για το ερώτημα; Δοκίμασα την κλασική παραμετροποίηση r(\theta,\phi) = \left<\sin \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, \cos \phi \right> και τα νούμερα δεν βγήκαν όπως θα έπρεπε.
2) Ο προσανατολισμός γιατί μας ενδιαφέρει;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 04, 2020 4:01 pm

Θα αρχίσω από το (2). Ο ορισμός του \displaystyle  \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} είναι \displaystyle  \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S όπου το \mathbf{n} είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Υπάρχουν δύο επιλογές για το \mathbf{n} γι' αυτό πρέπει να δίνεται ο προσανατολισμός.

Για το (1) τώρα, η παραμετροποίηση που έγραψες είναι σωστή και πρέπει να δουλέψει. Πρόσεξε επίσης τα εξής
(α) Να βάλεις τα όρια σωστά. Τόσο το \vartheta όσο και το \varphi πρέπει να κινούνται από 0 ως \pi/2.
(β) Δεν πρέπει να ξεχάσεις ότι το \mathrm{d}S γίνεται \sin{\varphi} \, \mathrm{d}\vartheta \, \mathrm{d}\varphi. Κοίταξε ξανά τις σημειώσεις σου να βεβαιωθείς γιατί ισχύει αυτό και πώς να βρίσκεις το \mathrm{d}S για άλλες επιφάνειες.

Είναι σημαντικό να επιλέγουμε την απλούστερη παραμετροποίηση και για αυτό το παράδειγμα είναι η πιο πάνω. Θα μπορούσαμε επίσης να επιλέξουμε την παραμετροποίηση (x,y,z) = (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}). Εδώ υπάρχει και η δυσκολία να βρούμε ποια είναι τα όρια. Αν π.χ. ολοκληρώσαμε πρώτα ως προς y και μετά ως προς x, τότε τα όρια του y θα εξαρτιώνται από το x. (Δοκίμασε να τα βρεις.) Μετά τα όρια του x είναι εύκολα. Απλά πάμε από το 0 ως το 1. Δοκίμασε και με αυτόν τον τρόπο να δεις αν βγάζεις την ίδια απάντηση.

Πιθανώς να έχεις ήδη δει και κάποια θεωρήματα τα οποία συχνά μας βοηθάνε. Π.χ. εδώ θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και το Θεώρημα Αποκλίσεως (Divergence Theorem) αλλά όχι απευθείας επειδή η επιφάνειά μας δεν είναι κλειστή.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2886
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 04, 2020 8:12 pm

Σημαντικά όσα αναφέρει ο Δημήτρης για τις γενικές περιπτώσεις. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η παραμετρική παράσταση

\overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,,

αρκεί -μιας και δεν χρειάζεται να ολοκληρώσουμε- αφού

\overline{n}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big), \overline{F}(\overline{R}(x,y))=\big(0,-\sqrt{1-x^2-y^2},y\big) και \overline{F}(\overline{R}(x,y))\cdot \overline{n}(x,y)=0\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 04, 2020 8:41 pm

Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της \mathbf{F}.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2886
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 04, 2020 10:02 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 8:41 pm
Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της \mathbf{F}.
Κι όμως Δημήτρη δεν έχω δίκιο! (πόσο μάλλον απόλυτο δίκιο!)
Να το διασαφηνίσω: Η παραμετρική παράσταση \overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,, δεν είναι κανονική στο "σύνορο" \{(x,y,0)\;|\; x^2+y^2=1,x\geqslant0,y\geqslant0 \}. Κι αυτό έχει σημασία!

Θα επιστρέψω δίνοντας πλήρη αιτιολόγηση και λύση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 04, 2020 10:46 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:02 pm
Demetres έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 8:41 pm
Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της \mathbf{F}.
Κι όμως Δημήτρη δεν έχω δίκιο! (πόσο μάλλον απόλυτο δίκιο!)
Να το διασαφηνίσω: Η παραμετρική παράσταση \overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,, δεν είναι κανονική στο "σύνορο" \{(x,y,0)\;|\; x^2+y^2=1,x\geqslant0,y\geqslant0 \}. Κι αυτό έχει σημασία!

Θα επιστρέψω δίνοντας πλήρη αιτιολόγηση και λύση.
Εχεις δίκιο Γρηγόρη.
Μπορεί να γίνει έτσι βάζοντας λίγο ........
Συγκεκριμένα επειδή η συνάρτηση είναι φραγμένη και η επιφάνεια έχει εμβαδό
μπορούμε να πάμε λίγο μέσα .
Δηλαδή να βγάλουμε επιφάνεια κοντά στο σύνορο που έχει εμβαδό όσο μικρό θέλουμε.
Στην άλλη θα είναι 0 όποτε είναι όσο κοντά στο 0 θέλουμε
Αρα είναι 0.
Αργότερα θα δώσω λύση χωρίς παραμέτριση.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2886
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 04, 2020 11:06 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:46 pm
Εχεις δίκιο Γρηγόρη.
Μπορεί να γίνει έτσι βάζοντας λίγο ........
Συγκεκριμένα επειδή η συνάρτηση είναι φραγμένη και η επιφάνεια έχει εμβαδό
μπορούμε να πάμε λίγο μέσα .
Δηλαδή να βγάλουμε επιφάνεια κοντά στο σύνορο που έχει εμβαδό όσο μικρό θέλουμε.
Στην άλλη θα είναι 0 όποτε είναι όσο κοντά στο 0 θέλουμε
Αρα είναι 0.
Αργότερα θα δώσω λύση χωρίς παραμέτριση.
Σταύρο, για αυτό το "λίγο..." έγραψα την προηγούμενη δημοσίευσή μου, αφού σκέφτηκα όσους διαβάζουν τις λύσεις μας.

Δίνω μια "πιο φυσιολογική" λύση:

Μια παραμετρική παράσταση του τμήματος \Sigma της σφαίρας S^1 για x\geqslant0,\,y\geqslant0,\,z\geqslant0\,, είναι

\displaystyle {\overline{R}}(\varphi, \vartheta)=\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,,\;\varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big], \; \vartheta\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\,.

Για \varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big], \; \vartheta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big], ισχύει {\overline{R}}_{\varphi}(\varphi, \vartheta)\times{\overline{R}}_{\vartheta}(\varphi, \vartheta)\neq{\overline{0}} . Παρότι {\overline{R}}_{\varphi}(\varphi, 0)\times{\overline{R}}_{\vartheta}(\varphi, 0)={\overline{0}} θεωρώντας σαν (θετικά προσανατολισμένο) μοναδιαίο κάθετο στην \Sigma το \displaystyle {\overline{n}}(\varphi, \vartheta)=\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,, μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό

\begin{aligned} 
\mathop{\oiint}\limits_{\hspace{-0.3cm}\Sigma}{\overline{F}\cdot \overline{n}\,dS}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(0,{-\cos\vartheta},\,\sin\varphi\sin\vartheta\big)\cdot\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=0\,. 
\end{aligned}

Σημείωση: Είναι σημαντικό το ότι η {\overline{R}} επεκτείνεται σε μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση {\widetilde{R}}:U\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^3, όπου U ένα ανοικτό σύνολο με \big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\times\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\subset U.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 04, 2020 11:18 pm

ManolisFysikos έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 2:38 pm
Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα \displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} όπου \mathbf{F} = \left<0,-z,y\right> και το S είναι το κομμάτι της μοναδιαίας σφαίρας του στο πρώτο ογδοοκύκλιο με εξωτερικό προσανατολισμό.

Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής:
1) Πώς παραμετροποιώ την σφαίρα για το ερώτημα; Δοκίμασα την κλασική παραμετροποίηση r(\theta,\phi) = \left<\sin \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, \cos \phi \right> και τα νούμερα δεν βγήκαν όπως θα έπρεπε.
2) Ο προσανατολισμός γιατί μας ενδιαφέρει;
Εστω V το στερεό που είναι το κομμάτι της σφαίρας μαζί με τα επίπεδα που το καθορίζουν.
Από Gauss είναι
\displaystyle \iiint _{V} divF d\bar{x}=\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_3} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}(1)

οπου
\displaystyle S_{1}=\left \{ (0,y,z):z>0,y>0,z^2+y^2\leq 1 \right \}

\displaystyle S_{2}=\left \{ (x,0,z):x>0,z>0,x^2+z^2\leq 1 \right \}

\displaystyle S_{3}=\left \{ (x,y,0):x>0,y>0,x^2+y^2\leq 1 \right \}

με αντίστοιχα κάθετα προς τα έξω τα
(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)
Ετσι είναι
\displaystyle I_1=\iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0

\displaystyle I_2=\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{\left \{ x>0,z>0,x^2+z^2\leq 1 \right \}}zdxdz

\displaystyle I_3=\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{\left \{ x>0,y>0,x^2+y^2\leq 1 \right \}}(-y)dxdy
Λόγω συμμετρίας είναι

I_3+I_2=0
Επίσης είναι
divF=0
Ετσι η (1) δίνει ότι

 \displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης