Δεν ... υπάρχει

Tolaso J Kos · #1

Έστω ακολουθία a_n

με $a_n \geq 0$ τέτοια ώστε $0< \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty$ . Να δειχθεί ότι το όριο:

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}}$
δεν υπάρχει.

Δεν έχω λύση!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 3:19 pm
Έστω ακολουθία με $a_n \geq 0$ τέτοια ώστε $0< \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty$ . Να δειχθεί ότι το όριο:

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}}$
δεν υπάρχει.

Δεν έχω λύση!

Θέτουμε
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}$
Από τις υποθέσεις προκύπτει ότι είναι καλά ορισμένη και συνεχής.
Αν θέσουμε $x=k!2\pi$
τότε $\displaystyle f(x)=\sum_{n=k+1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}$
και
$\displaystyle |f(x)|\leq \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n$

Από την παραπάνω παίρνουμε ότι αν το όριο υπάρχει είναι

.
Εστω

ο ελάχιστος φυσικός με $a_{n_{0}}>0$ .
Υπάρχει m>n_0

φυσικός ώστε για l>m

να είναι
$\displaystyle \sum_{n=l}^{\infty} a_n< \frac{a_{n_{0}}}{200n_0}$

παίρνουμε
$x=k!2\pi+\frac{\pi }{4}$

Είναι
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=n_{0}}^{k} a_n \sin \frac{\pi }{4n}+\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n \sin \frac{x }{n}$
$\displaystyle > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}+\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n \sin \frac{x }{n}$
$\displaystyle > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}-\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}-a_{n_{0}}\frac{1}{200n_0}$
για k>m

που δείχνει ότι το όριο δεν μπορεί να είναι

Αρα το όριο δεν υπάρχει

Δεν ... υπάρχει

Δεν ... υπάρχει

Re: Δεν ... υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση