Όγκος στερεού

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Όγκος στερεού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am

Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1927
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος στερεού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Ιουν 25, 2020 8:12 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am
Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.

Γρηγόρη Καλημέρα....


Παρουσιάζω αρχικά δύο σχήματα.
Το πρώτο εμφανίζει τις δυο αυτές επιφάνειες και το δεύτερο απομονώνει το ζητούμενο
στερεό που περιέχεται ανάμεσα από αυτές.

Το πρώτο σχήμα:
Τομή 1.png
Τομή 1.png (49.48 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται με θαλασσί χρώμα το δίχωνο υπερβολοειδές και
με πρασινωπό χρώμα το μονόχωνο υπερβολοειδές.

Το δεύτερο σχήμα:
Τομή 2.png
Τομή 2.png (113.1 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται το περιεχόμενο στερεό \displaystyle{ \Sigma} των αρχικών επιφανειών
το οποίο παράπλευρα έχει χρώμα πράσινο και είναι τμήμα του μονόχωνου υπερβολοειδούς
και οι δύο "βάσεις" του έχουν χρώμα κίτρινο και είναι τμήμα του δίχωνου υπερβολοειδούς.

Όμορφες επιφάνειες και σχήματα!! Απολαυστικές!!!

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1927
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος στερεού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Ιουν 26, 2020 11:56 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am
Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.
Καλησπέρα...

Για καλύτερη παρουσίαση του στερεού αυτού \displaystyle{\Sigma} παρουσιάζω το κατωτέρω σχήμα:
Τομή 4.png
Τομή 4.png (73.72 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται ένα στιγμιότυπο της δημιουργίας του και
είναι το μισό της τομής των δύο υπερβολοειδών.

Στον κατωτέρω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και το δυναμικό σχήμα.

https://www.geogebra.org/m/tjrw4nhj

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όγκος στερεού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Ιουν 29, 2020 11:26 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am
Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.
...για όσους ενδιαφέρονται, επιπρόσθετα:

Για το πεδίο \overline{F}:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3\,; \quad \overline{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} 
\alpha yz\\ 
\beta xz\\ 
(x+y)z 
\end{pmatrix}
να βρεθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα \oiint_{\,(\partial\Sigma)\cap H_1}{(\nabla\times\overline{F}\,)\cdot d\overline{R}}, όπου H_1 το μονόχωνο υπερβολοειδές.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1927
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος στερεού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:34 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am
Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.
Γρηγόρη καλημέρα....

Συνεχίζω στο αρχικό πρόβλημα...

Στο πρώτο σχήμα εμφανίζω το \displaystyle{\frac{1}{8}} του αρχικού στερεού.
Όγκος 4.png
Όγκος 4.png (41.69 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Στο δεύτερο σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα κυλινδρικης επιφάνειας
το οποίο περιβάλλει το προηγούμενο.
Όγκος 5.png
Όγκος 5.png (50.63 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Θα ακολουθήσει στη συνέχεια ο υπολογισμός του όγκου του στερεού \displaystyle{\displaystyle{\Sigma}}.

Στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/mja5afn7

μπορείτε να δείτε και το δυναμικό σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1927
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος στερεού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Ιούλ 06, 2020 10:53 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 24, 2020 8:12 am
Έστω \Sigma το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1 και το δίχωνο υπερβολοειδές \frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1,  \quad \alpha>0,\,\beta>0.
Να βρεθεί ο όγκος του \Sigma συναρτήσει των \alpha,\,\beta.
(Συνέχεια...)

Αρχικά πρέπει να πούμε ότι η τομή του μονόχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο \displaystyle{xOy} είναι η έλλειψη:

\displaystyle{ C_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\  \ (1) }

κι ύστερα εύκολα διαπιστώνουμε ότι η τομή των δύο αυτών υπερβολοειδών είναι δύο ελλείψεις οι οποίες προβάλλονται
στο οριζόντιο επίπεδο στην έλλειψη:

\displaystyle{ C_2: \frac{x^2}{(a\sqrt{\frac{8}{3}})^2}+\frac{y^2}{(b\sqrt{\frac{8}{3}})^2}=1\  \ (2) }

Οι τύποι (1) και (2) εύκολα βρίσκονται και οι ελλείψεις αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:
Τομή 5.png
Τομή 5.png (30.44 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές
Οι ελλείψεις αυτές εμφανίζονται και στα δύο σχήματα του προηγούμενου μηνύματός μου.

Υπολογισμός του όγκου του στερεού \displaystyle{\Sigma}

Είναι:

\displaystyle{V(\Sigma)=8V \  \ (3) }

με

\displaystyle{V=V_1-V_2 \  \ (4) }

όπου:

\displaystyle{V_1} είναι όγκος του χωρίου που περιβάλλεται από την κυλινδρική επιφάνεια με οδηγό την καμπύλη \displaystyle{C_2},
από την έλλειψη \displaystyle{C_2} και από ένα τμήμα του δίχωνου υπερβολοειδούς.

Δηλαδή:

\displaystyle{V_1=\iint_{\substack{\Omega_1+\Omega_2}} (\sqrt{\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{4b^2}+1})dxdy  \  \  (5)}

και \displaystyle{V_2} είναι ο όγκος του χωρίου που περιβάλλεται από την ίδια κυλινδρική επιφάνεια που αναφέρθηκε προηγούμενα,
από το χωρίο \displaystyle{\Omega_2} και από την επιφάνεια του μονόχωνου υπερβολοειδούς.

Δηλαδή:

\displaystyle{V_2=\iint_{\substack{\Omega_2}}(\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+1})dxdy \  \  (6)}

Τα ολοκλήρωμα (5) υπολογίζεται εύκολα με την αντικατάσταση:

\displaystyle{x=2arcosu, y=2bsinu \  \ 0 \leq r \leq  \sqrt{\frac{8}{3}}, \  \  0 \leq u \leq \frac{\pi}{2} \  \ (7) }

και το ολοκλήρωμα (6) αντίστοιχα με την αντικατάσταση:

\displaystyle{ x=arcosu, y=brsinu\  \ 1 \leq r \leq  \sqrt{\frac{8}{3}}, \  \  0 \leq u \leq \frac{\pi}{2} \  \ (7)}

Οι υπολογισμοί θα γίνουν στο επόμενο μήνυμα...

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης