Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell =\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{i+j}{i^2+j^2}}$

Tolaso J Kos · #2

Έστω $\displaystyle{a_n = \sum_{i, j=1}^{n} \frac{i+j}{i^2+j^2}}$ . Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} \frac{i+j}{i^2+j^2} - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{i+j}{i^2+j^2} \\ &= 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{k+n+1}{k^2 + \left ( n+1 \right )^2} + \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n + 1 + 1/n}{\left ( k/n \right )^2 + \left ( 1 + 1/n \right )^2} + \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n + 1 + 1/n}{\left ( k/n \right )^2 + 1 + \mathcal{O} \left ( n^{-1} \right )} + \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n + 1 + 1/n}{\left ( k/n \right )^2+1} \left ( 1 + \mathcal{O} \left ( n^{-1} \right )^{-1} \right ) + \frac{1}{n+1} \\ & = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n + 1 + 1/n}{\left ( k/n \right )^2+1} \left ( 1 + \mathcal{O} \left ( n^{-1} \right ) \right ) + \frac{1}{n+1} \\ & = \frac{2 + \mathcal{O} \left ( n^{-1} \right )}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n + 1}{\left ( k/n \right )^2+1} + \sum_{k=1}^{n} \left ( \mathcal{O} \left ( n^{-2} \right ) + \mathcal{O} \left ( n^{-3} \right ) \right ) + \mathcal{O} \left ( n^{-1} \right ) \\ & \longrightarrow 2 \int_{0}^{1} \frac{1+x}{1+x^2}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} + \ln 2 \end{aligned}}$
Από Stolz–Cesàro παίρνουμε το ζητούμενο.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση