Αναδρομή και όριο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Προέκυψε από πρόβλημα...

Δίνεται η ακολουθία πραγματικών $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ για την οποία ισχύουν a_1=a_2=1

και $\displaystyle a_n=1+\dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^{n-2}a_k$ για κάθε n> 2.

Να δείξετε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{1-e^{-2}}{2}.$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 7:01 pm
Προέκυψε από πρόβλημα...

Δίνεται η ακολουθία πραγματικών $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ για την οποία ισχύουν

και $\displaystyle a_n=1+\dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^{n-2}a_k$ για κάθε

Να δείξετε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{1-e^{-2}}{2}.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάμπρος Κατσάπας · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 9:52 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 7:01 pm
Προέκυψε από πρόβλημα...

Δίνεται η ακολουθία πραγματικών $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ για την οποία ισχύουν

και $\displaystyle a_n=1+\dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^{n-2}a_k$ για κάθε

Να δείξετε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{1-e^{-2}}{2}.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν βαζω λύση για τον απλούστατο λόγο ότι η πρέπει να δακτυλογραφω ώρες η θα πρέπει να παραβώ τους κανονισμούς του .
Απλά να αναφέρω ότι μπορούμε να βρούμε τον τύπο της ακολουθίας.Αν μου ζητηθεί μπορώ να περιγράψω την λύση.

Και εγώ την ακολουθία βρήκα με standard διαδικασία.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Θα δουλέψουμε με γεννήτρια.

Θεωρούμε τη γεννήτρια

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^{n-2}a_k \right )x^n$

$\displaystyle =\dfrac{x}{1-x}+2a_1\sum_{n=3}^{\infty }\frac{x^n}{n}+2a_2\sum_{n=4}^{\infty }\frac{x^n}{n}+...$

$\displaystyle =\dfrac{x}{1-x}+2a_1\int \left ( x^2+x^3+...\right )dx+2a_2\int \left ( x^3+x^4+... \right ) dx +...$

$\displaystyle = \dfrac{x}{1-x}+2a_1 \int \dfrac{x^2}{1-x}dx+2a_2\int \dfrac{x^3}{1-x}dx +...$

$\displaystyle = \dfrac{x}{1-x}+2 \int\dfrac{x }{1-x}F(x)dx .$

Επομένως $\displaystyle F(x)= \dfrac{x}{1-x}+2 \int\dfrac{x }{1-x}F(x)dx$ και παραγωγίζοντας οδηγούμαστε

στη διαφορική $\displaystyle {F}'(x)-\dfrac{2x}{(1-x)^2}F(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}$ η οποία, κατά τα γνωστά, δίνει τελικά

$\displaystyle F(x)=\dfrac{1-e^{-2x}}{2(1-x)^2}.$ Ο υπολογισμός της σταθεράς που προκύπτει κατά την επίλυση της

διαφορικής έγινε με βάση την F(0)=0.

Αναπτύσσοντας σε δυναμοσειρά τον αριθμητή και τον αντίστροφο του παρονομαστή έχουμε:

$\displaystyle F(x)=-\dfrac{1}{2}\left ( \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-2)^n}{n!} x^n\right )\left ( \sum_{n=0}^{\infty } (n+1)x^n\right )$

και δημιουργώντας συνέλιξη βρίσκουμε ότι

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sum_{k=1}^{n} -\dfrac{1}{2}\dfrac{(n+1-k)(-2)^k}{k!}\right ) x^n .$

Άρα

$\displaystyle a_n=-\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(n+1-k)(-2)^k}{k!}= -\dfrac{n+1}{2} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-2)^k}{k!} +\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-2)^k}{(k-1)!} .$

Διαιρώντας με

και παίρνοντας όριο έχουμε το ζητούμενο.

(το $\displaystyle \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-2)^k}{(k-1)!}$ συγκλίνει)

Αναδρομή και όριο

Αναδρομή και όριο

Re: Αναδρομή και όριο

Re: Αναδρομή και όριο

Re: Αναδρομή και όριο

Re: Αναδρομή και όριο

Μέλη σε σύνδεση