Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Ολοκλήρωμα με γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιούλ 13, 2020 7:30 pm

Κάπου είχα βρει μια παράλληλη με τα αθροίσματα Riemann ολοκλήρωση.
Στο συγκεκριμένο παίρνουμε γίνομενα αντί για αθροίσματα στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann.
Καμία πληροφορία σχετικά με αυτό; Ξέρει κανείς αυτήν την ολοκλήρωση; Για ποιο λόγο είναι πιο διάσημος ο ορισμός με τα αθροίσματα από αυτόν με τα γινόμενα;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιούλ 13, 2020 7:47 pm

Μήπως εννοείς αυτό;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Ιούλ 14, 2020 4:07 pm

Ναι αυτό έψαχνα. Ευχαριστώ.
Ξέρει κανείς αν χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά αυτή η ολοκλήρωση;
Μάλλον όχι γιατί ανάγεται στη συνήθη ολοκλήρωση με τα αθροίσματα, επειδή \prod_{a}^{b} f(x)^{dx}= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12990
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 14, 2020 5:03 pm

stranger έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 4:07 pm
\prod_{a}^{b} f(x)^{dx}= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx).
Προσοχή στα σύμβολα. Η σωστή γραφή είναι

\displaystyle{\lim_{|D|\to 0} \prod_{k=1}^{n} f(\xi _k)^{a_{k+1} -a_k} }= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx)}

όπου το όριο λαμβάνεται ως προς διαμερίσεις D: a=a_0<a_1< ... < a_n=b πλάτους |D|,

Πρόκειται για το "λογαριθμικό ανάλογο" των γνωστών αθροισμάτων Riemann.

Θα το θέσω ως άσκηση με υπόδειξη στο ποστ που έχω ανοίξει για αθροισμάτων Riemann.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Ιούλ 14, 2020 8:17 pm

Έγραψα \prod_{a}^{b} f(x)^{dx} για το ολοκλήρωμα γινόμενο.
Ο ορισμός του είναι αυτός που γράψατε με τις διαμερίσεις.
Ουσιαστικά ο ορισμός ακολουθεί την ίδια ιδέα με τα αθροίσματα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες