Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

ttheodoros · #1

Να βρεθούν οι τιμές του $p \in \mathbb R$ για τις οποίες το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} x^p \sin(e^x) dx }$
συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ttheodoros έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2020 6:47 pm Να βρεθούν οι τιμές του $p \in \mathbb R$ για τις οποίες το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^p \sin(e^x) dx}$
συγκλίνει.

Πρέπει και αρκεί να είναι p>-1

Το
$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty} x^p \sin(e^x) dx$
συγκλίνει αν και μόνο αν τα

$\displaystyle I_1=\int_{0}^{\ln \frac{\pi }{2}} x^p \sin(e^x) dx$

$\displaystyle I_2=\int_{\ ln 100}^{\infty } x^p \sin(e^x) dx$

συγκλινουν.

Το I_1

συγκλίνει αν και μόνο αν p>-1

.

Θα δείξουμε ότι το I_2

συγκλίνει για κάθε

Θέτοντας

γίνεται

$\displaystyle I_2=\int_{ 100}^{\infty } (\ln t)^{p}\frac{\sin t}{t} dt$

Γράφοντας $\sin t=(-\cos t)'$
και κάνοντας παραγοντική παίρνουμε ότι

$\displaystyle I_2=(\ln 100)^{p}\frac{\cos 100}{100}+\int_{100}^{\infty } \frac{p(\ln t)^{p-1}-(\ln t)^{p}}{t^{2}} \cos t dt$

Επειδή η συνάρτηση
$\displaystyle \frac{p(\ln t)^{p-1}-(\ln t)^{p}}{t^{\frac{1}{2}}} \cos t$
είναι φραγμένη για t>100

το
$\displaystyle \int_{100}^{\infty }\frac{p(\ln t)^{p-1}-(\ln t)^{p}}{t^{2}}\cos t dt$
συγκλίνει απόλυτα αρα και απλά.

Για το φράξιμο της συνάρτησης αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την

$\displaystyle \ln t< \frac{1}{a}t^{a},t>1,a>0$

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση